多维正态分布的边缘概率与条件概率的公式（只有结论，无推导）

设$X$为服从多维正态分布的随机变量，即$X\sim N(\mu ,\Sigma )$
将$X$分成两个部分：$X_a,X_b$，$\mu$分成两个部分：${\mu }_a,{\mu }_b$，$\Sigma$分成四个部分：${\Sigma }_{aa},{\Sigma }_{ab},{\Sigma }_{ba},{\Sigma }_{bb}$
目标：求解$P(X_a)$与$P(X_b|X_a)$
定理：
已知$X\sim N(\mu ,\Sigma )$，$Y=AX+B$
则$Y\sim N(A\mu +B,A\Sigma A^T)$

结论：
$$X_a\sim N({\mu }_a,{\Sigma }_{aa})$$
令：
$$X_{b\cdot a}=X_b-{\Sigma }_{ba}{\Sigma }_{aa}^{-1}{X}_a$$
$${\mu }_{b\cdot a}={\mu }_b-{\Sigma }_{ba}{\Sigma }_{aa}^{-1}{\mu }_a$$
$${\Sigma }_{bb\cdot a}={\Sigma }_{bb}-{\Sigma }_{ba}{\Sigma }_{aa}^{-1}{\Sigma }_{ab}$$
结论：
$$X_b|X_a\sim N({\mu }_{b\cdot a}+{\Sigma }_{ba}{\Sigma }_{aa}^{-1}{X}_a,{\Sigma }_{bb\cdot a})$$