不同路径/最小路径和

一、不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释: 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

分析：

动态规划：
定义dp[i][j]表示机器人从左上角走到（i，j）位置时，一共有dp[i][j]种走法，dp[m-1] [n-1] 就是我们所求的结果（网格下标是从0开始的，右下角的位置是（m-1,n-1））

那么机器人如何到（i，j）位置呢？
①从（i-1，j)再走一步
②从（i，j-1)再走一步

所以总路径和为：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]

还有就是考虑只有一行或一列的情况，机器人只能往右或下走
dp[0] [0….n-1] = 1; // 相当于一直往右走
dp[0…m-1] [0] = 1; // 相当于一直往下走

 public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp=new int[m][n];
        for(int i=0;i<m;i++) {
            dp[i][0]=1;
        } 
        for(int i=0;i<n;i++) {
            dp[0][i]=1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++) {
            for(int j=1;j<n;j++) {
                dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1]; 
    }

最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

输入: [ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1] ]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

这个题和上面的题有类似的地方，也可以使用动态规划：
可以定义dp[i][j]的数组表示机器人从左上角走到（i，j）的位置时经过的最小路径和，dp[m-1] [n-1] 就是我们所求的结果

那么机器人如何到（i，j）位置呢？
①从（i-1，j)再走一步
②从（i，j-1)再走一步
不过这次不是计算所有路径，而是计算哪一个路径和最小，我们就得从这两种方式中选择一种：
dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+arr[i]

还有就是考虑只有一行或一列的情况，机器人只能往右或下走
dp[0] [j] = dp[0][j-1]+arr[0][j]; // 相当于一直往右走
dp[i] [0] = dp[i-1][0]+arr[i][0] // 相当于一直往下走
dp[0][0]=arr[0][0]

 public int minPathSum(int[][] grid) {
        int[][] dp=new int[grid.length][grid[0].length];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i=1;i<grid.length;i++) {
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+grid[i][0];
        }
        for(int i=1;i<grid[0].length;i++) {
            dp[0][i]=dp[0][i-1]+grid[0][i];
        }
        for(int i=1;i<grid.length;i++) {
            for(int j=1;j<grid[0].length;j++) {
                dp[i][j]=Math.min(dp[i][j-1],dp[i-1][j])+grid[i][j];
            }
        }
        return dp[dp.length-1][dp[0].length-1];
    }