正态分布 概率密度函数PDF

概率密度函数，这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。

概率密度函数

四个不同参数集的概率密度函数（绿色线代表标准正态分布）

正态分布的概率密度函数均值为μ 方差为σ² (或标准差σ)是高斯函数的一个实例：

。

(请看指数函数以及π.)

如果一个随机变量X服从这个分布，我们写作 X ~ N(μ,σ²). 如果μ = 0并且σ = 1，这个分布被称为标准正态分布，这个分布能够简化为

。

右边是给出了不同参数的正态分布的函数图。

正态分布中一些值得注意的量：

• 密度函数关于平均值对称
• 平均值是它的众数（statistical mode）以及中位数（median）
• 函数曲线下68.268949%的面积在平均值左右的一个标准差范围内
• 95.449974%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内
• 99.730020%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围内
• 99.993666%的面积在平均值左右四个标准差4σ的范围内
• 反曲点（inflection point）在离平均值的距离为标准差之处

累积分布函数

上图所示的概率密度函数的累积分布函数

累积分布函数是指随机变量X小于或等于x的概率，用密度函数表示为

正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示：

标准正态分布的累积分布函数习惯上记为Φ，它仅仅是指μ = 0，σ = 1时的值，

将一般正态分布用误差函数表示的公式简化，可得：

它的反函数被称为反误差函数，为：

该分位数函数有时也被称为probit函数。probit函数已被证明没有初等原函数。

正态分布的分布函数Φ(x)没有解析表达式，它的值可以通过数值积分、泰勒级数或者渐进序列近似得到。

性质

正态分布的一些性质:

1. 如果且a与b是实数，那么aX + b∼N(aμ + b,(aσ)²) (参见期望值和方差).
2. 如果与是统计独立的正态随机变量，那么:
   • 它们的和也满足正态分布 (proof).
   • 它们的差也满足正态分布.
   • U与V两者是相互独立的。
3. 如果和是独立正态随机变量，那么:
   • 它们的积XY服从概率密度函数为p的分布

     其中K₀是贝塞尔函数（modified Bessel function）

   • 它们的比符合柯西分布，满足X / Y∼Cauchy(0,σ_X / σ_Y).
4. 如果为独立标准正态随机变量，那么服从自由度为n的卡方分布。