实对称矩阵特征值按大小排序

题1

• A是实对称矩阵
• A所有的特征值按大小排序如下：$${\lambda }_1\ge ...\ge {\lambda }_n$$
• 证明：对$\forall \alpha \in R^n，且\alpha \ne 0,都满足$ $${\lambda }_n\le \frac{{\alpha }^{\prime }A\alpha }{|\alpha {|}^2}\le {\lambda }_n$$

证明：

• 由于$A$是实对称矩阵，所以存在一正交矩阵$T$，使得$$T^{\prime }AT=diag\{{\lambda }_1,...,{\lambda }_n\}$$
• 对$\forall \alpha \in R^n，且\alpha \ne 0$,设$T\alpha =(b_1,...,b_n{)}^{\prime }$，则有$${\alpha }^{\prime }{T}^{\prime }AT\alpha ={\lambda }_1{b}_1^2+...+{\lambda }_n{b}_n^2$$就知道啦！$${\lambda }_1{b}_1^2+...+{\lambda }_n{b}_n^2\le {\lambda }_1(b_1^2+...+b_n^2)$$ $${\lambda }_1{b}_1^2+...+{\lambda }_n{b}_n^2\ge {\lambda }_n(b_1^2+...+b_n^2)$$

题2

• $A=(a_{ij})$是实对称矩阵
• A所有的特征值按大小排序如下：$${\lambda }_1\ge ...\ge {\lambda }_n$$
• 证明：$${\lambda }_n\le a_{ii}\le {\lambda }_1(i=1,...,n)$$

证明：

• 只要让$\alpha ={\epsilon }_i(i=1,...,n)$就好啦！
• 结论给我记住！！！实对称矩阵的每一个对角元都在最小特征值和最大特征值之间！！

题3

• B是n阶实矩阵
• B’B的全部特征值排序成$${\lambda }_1\ge ...\ge {\lambda }_n$$
• 证明：若B有特征值，那么B的任一特征值$\mu$满足$$\sqrt{{\lambda }_n}\le |\mu |\le \sqrt{{\lambda }_1}$$

证明：

• B’B是实对称矩阵，且其特征值均为非负实数，所以$${\lambda }_1\ge ...\ge {\lambda }_n\ge 0$$
• 假设B有一特征值，记为$\mu$，对应的特征向量为$\alpha$，则由上面的结论可得$${\lambda }_n\le \frac{{\alpha }^{\prime }{B}^{\prime }B\alpha }{|\alpha {|}^2}\le {\lambda }_n$$ 而$${\alpha }^{\prime }{B}^{\prime }B\alpha =(B\alpha {)}^{\prime }B\alpha ={\mu }^2|\alpha {|}^2$$