伴随矩阵的二三性质

伴随矩阵的定义和 $A^{\ast }A=A{A}^{\ast }=|A|I$这个性质在 可逆矩阵的二三性质中已经有介绍了，这里不多说。这里介绍一下伴随矩阵的 行列式和秩的结论。

行列式

• $A$是$n$级矩阵（$n\ge 2$）$\Rightarrow$ $$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$
• $$(A^{\ast }{)}^{\ast }=\{\begin{array}{ll}|A{|}^{n-2}A& n\ge 3\\ A& n=2\end{array}$$

秩

$A$是$n$级矩阵（$n\ge 2$）$\Rightarrow$ $$rank(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n& rank(A)=n\\ 1& rank(A)=n-1\\ 0& rank(A)<n-1\end{array}$$

证明

• $rank(A)=n$$\Rightarrow |A|̸=0\Rightarrow |A^{\ast }|̸=0\Rightarrow rank(A^{\ast })=n$
• $rank(A)<n-1$$\Rightarrow$$\forall$一个$n-1$阶子式为0$\Rightarrow A^{\ast }=0$
• $rank(A)=n-1$$\Rightarrow$
  • 至少有一个$n-1$阶子式$̸=0\Rightarrow A^{\ast }̸=0\Rightarrow rank(A^{\ast })\ge 1$
  • 又此时有$A{A}^{\ast }=0\Rightarrow rank(A)+rank(A^{\ast })\le n\Rightarrow$$$rank(A^{\ast })\le 1\Rightarrow rank(A^{\ast })=1$$

其他 P201

• $A$可逆$\Rightarrow (A^{-1}{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{-1}$
• $A,B$都是$n(\ge 2)$级矩阵$\Rightarrow$ $$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }(与逆与转置同)$$