(12)计数排序

在介绍计数排序之前，我们先讨论一个问题，为什么比较排序排序下界为Ω(nlgn)。
介绍一下比较排序和线性排序的概念

• 比较排序：各个元素的次序基于输入元素间的比较。下界为Ω(nlgn)。
• 线性排序：用非比较的操作来确定元素的顺序。

1.决策树模型

比较排序可以抽象地视为决策树，表示某排序算法对输入元素的所有比较。下图为插入排序对于三个元素的输入序列上的决策树：

决策树模型.png

对于n个元素，排序结果有n!种排列，对应与决策树上的每一个叶子。

最坏情况下的下界

从决策树中我们可以看出：从根结点到任意一个可到达叶结点之间的最长简单路径的长度，表示的就是对应排序算法中最坏情况下的比较次数。因此，一个比较排序算法中的最坏情况的排序次数就等于决策树的高度。并且，当决策树中所有排列都是以可到达的叶结点的形式出现时，该决策树高度的下界也就是比较排序算法运行时间的下界。下面我们正式给出证明。

考虑一棵高度为h，具有l个可到达叶结点的决策树。它对应一个对n个元素进行的比较排序。因为输入数据有n！种可能的排列都是叶结点，所以n！≤l。由于在一棵高度为h的二叉树中，叶结点的数目不多于2^h，我们得到：
　　　　　　n! ≤ l ≤ 2^h，
两边取对数得：
　　　　　　h ≥ lg(n!) = Ω(nlgn)

２.计数排序定义：

计数排序假设n个输入元素都是位于[0, k]之间的整数。
基本思想为对于每一个输入元素x，确定出小于x的元素个数，然后直接将x放置>在最终数组的位置上。

下面给出算法的伪代码描述：

计数排序.png

其中数组A[1_{n]是待排序数组；数组B[1}n]用来存放已排好序的元素。C[0~k]用来存放上面所说的统计数（具体的说C[i]就表示在数组A中，小于或等于i的元素的总个数）。

下面这幅图描述的是对序列{2,5,3,0,2,3,0,3}排序的过程：

计数排序示例.png

３.java代码实现

/**
 * @Project: 10.dataStructure
 * @description:
 * @author: sunkang
 * @create: 2018-08-22 09:47
 * @ModificationHistory who      when       What
 **/
public class CountingSort {
    /**
     *计数排序的核心思想：
     * 利用了数组的下标的值来表示数组的值，利用数组的值来表示值的个数问题，最终数组的值进行累计来表示排序好数组的序号，
     * 因为下标的值是有序的，需要一个值来记录值出现的次数，于是就用值来记录序号
     *
     * @param A   A表示即将排序的数组
     * @param k   k表示数组的最大的值，数组的一般值范围从0到k范围内
     */
   public int[] countingSort(int[] A,int k){
       //1.创建C数组来存储 数组A的每个值出现的次数
       int[] C = new int[k + 1];//加上1
       //2.对C数组进行初始化
       for(int i= 0;i

４.计数排序算法分析

我们现在来分析计数排序的时间代价。

在伪代码中，第2到3行时间代价θ(k)；第4到5行时间为θ(n)；第7到8行时间为θ(k)，第10到12行时间为θ(n)。因此，总的运行时间是θ(k+n)。当k= O(n)时，运行时间为θ(n)。

可以看出，计数排序的下界优于我们上面论证的比较排序算法的下界时间Ω(nlgn)。这是因为计数排序并不是比较排序算法。事实上，在代码中从未出现比较某两个元素大小的代码。相反，计数排序是使用输入元素的实际值来确定其在数组中的位置。此时，比较排序算法的模型对计数排序不再适用。