线性代数学习笔记——矩阵

1.引出

在利用Gauss消元法求解线性方程组的过程中，参与运算的只是其中的系数和常数项，将这些系数和常数项写成"表格"的形式来表示求解的过程，于是引入矩阵的概念。

2.定义

矩阵及其初等行变换

 ①矩阵

$$\left(\begin{array}{cccc}a11& a12& \cdots & a1n\\ a21& a22& \cdots & a2n\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ as1& as2& \cdots & asn\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$

• a_ij称为矩阵的元素。元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵。如果s=n，则(1)式中的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵
• 两个矩阵完全相同时(行数相同，列数相同，对应元素相同)，称他们相等
• 两个或两个以上矩阵，行数相同，列数相同，称它们为同型矩阵

 ②初等行变换

 对矩阵所作的下述变换称为矩阵的初等行变换：

• 互换矩阵两行的位置
• 用一不等于零的数乘以矩阵某行的所有元素
• 将矩阵的一行换成该行与另一行的同一个倍数之和

阶梯型矩阵

 如果矩阵A满足下述两个条件，则称A是阶梯型矩阵:

• 如果A有零行(每个元素都等于零的行)，则零行全位于A的下方
• A的每个非零行的非零首元(从左往右第一个不为零的数)必位于上一行的非零首元的右边

 如果阶梯型矩阵A还满足下面两个条件，则称A是简化阶梯型矩阵:

• A的每个非零首元都等于1
• 除了非零首元外，非零首元所在列的其余元素都等于零

可逆矩阵

 ①行列式的乘法定理

 设A,B都是n阶方阵，则$|AB|=|A||B|$

 ②可逆矩阵

 设A是n阶方阵。若存在n阶矩阵B，使得
$$AB=BA=E$$

则称A是可逆的，称B是A的可逆矩阵。

 ③伴随矩阵

 设n ≥ 2。n阶方阵A = (a_ij)_nxn。记A_ij是A中第i行第j列元素a_ij的代数余子式。则称矩阵
$$\left(\begin{array}{cccc}A11& A21& \cdots & An1\\ A12& A22& \cdots & An2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ A1n& A2n& \cdots & Ann\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(2)}$$
为A的伴随矩阵,并用符号A^*表示
注意,在上面的定义中，A_ij不是a_ij的余子式，而是a_ij的代数余子式。而且，A^*中的第i行第j列元素不是A_ij,而是A_ji。

分块矩阵

 ①矩阵加减法分块原则

 设A,B都是mxn矩阵，只要两个矩阵的行和列的分块方式完全一致即可。

 ②矩阵数乘分块原则

 矩阵分块并无特殊要求，用数乘以矩阵的每一个分块。

 ③矩阵乘法分块原则

 设A是mxn矩阵，B是nxk矩阵，只要矩阵A的列的分块与矩阵B的行的分块完全一致，不管A的行与B的列如何分。

 ④矩阵转置的分块原则

 设A是mxn矩阵，对A的任意分块方式，均有
$$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1t}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2t}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ A_{s1}& A_{s2}& \cdots & A_{st}\end{array}\right),A^T=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}^T& A_{21}^T& \cdots & A_{s1}^T\\ A_{12}^T& A_{22}^T& \cdots & A_{s2}^T\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ A_{1t}^T& A_{2t}^T& \cdots & A_{st}^T\end{array}\right),$$

矩阵的秩

 ①秩的概念

• 设A是sxn矩阵，k(k$\le$s,n)是正整数。任取A的k行、k列，这些行和列交叉处的k²个元素按原有的相对次序所构成的k阶行列式称为A的k阶子式。
• 设A是sxn矩阵，r(r$\le$s,n)是正整数。如果A中存在非零的r阶子式，但A中阶数更高的子式(如果存在的话)都等于零，则称A的秩等于r，记为r(A)=r。

 ②初等变换和矩阵的秩

• 初等变换不改变矩阵的秩

 ③矩阵的等价标准型

• 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。
• 如果矩阵A经过一些初等变换变成B，则称A等价于B，记为A$\to$B
• 等价关系满足反身性、对称性、传递性
• 如果矩阵A$\to$B，则r(A) = r(B)
• 设s×n矩阵A的秩如果为r，将矩阵A作初等变换可化为
  $$E_{s\times n}^{(r)}=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$
  称$E_{s\times n}^{(r)}$为A的等价标准型。
• 一个矩阵的等价标准型由其秩唯一确定
• 设A,B都是s×n矩阵，则A$\to$B当且仅当r(A) = r(B)

初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

 ①初等矩阵与矩阵的乘积

• 对s×n矩阵A作一次初等行变换相当于在A的左边乘以一相应的初等矩阵；对A作一次初等列变换相当于在A的右边乘以一相应的初等矩阵

 ②用初等变换求逆矩阵

• 方阵A是可逆的当且仅当A可以写成初等矩阵的乘积
• 设A,B都是s×n矩阵，则A$\to$B的充分必要条件是存在s阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得B = PAQ
• 对于s×n矩阵A,B,r(A) = r(B)的充分必要条件是存在可逆矩阵P,Q,使得B = PAQ
• 设A是s×n矩阵，则r(A) = r当且仅当存在s阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得A = P$E_{s\times n}^{(r)}$Q

 ③矩阵的代数运算与矩阵的秩

• 设A,B都是s×n矩阵，则
  $$r(A),r(B)\le r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)\le r(A)+r(B)$$
• 设A,B都是s×n矩阵，则$r(A+B)\le r(A)+r(B)$
• 当矩阵A,B的乘积有意义时，$r(AB)\le r(A),r(B)$
• 设A,B分别是s×n和n×t矩阵，则$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$
• 设A,B分别是s×n和n×t矩阵，如果AB = 0，则$r(A)+r(B)\le n$

3.性质

矩阵的代数运算

 ①矩阵的线性运算

• 设s×n矩阵A = (a_ij)_s×n，B = (b_ij)_s×n。矩阵C = (a_ij + b_ij)_s×n称为A与B的和，记为C = A + B
• 矩阵加法性质：
   交换律:$A+B=B+A$
   结合律:$(A+B)+C=A+(B+C)$
   $A+0=A$
   $A+(-A)=0$
• 设A =(a_ij)_s×n，k是数。称矩阵(ka)_s×n为k与A的数乘，记为kA
• 矩阵线性运算性质:
   $1A=A$
   $k(lA)=(kl)A$
   $(k+l)A=kA+lA$
   $k(A+B)=kA+kB$
   $kA=0当且仅当k=0或A=0$

 ②矩阵的乘法运算

• 设m×s矩阵A = (a_ij)_m×s，s×n矩阵B = (b_ij)_s×n。当$1\le i\le m$,$1\le j\le n$时，记
  $$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj},$$
  称m×n矩阵C = (c_ij)_m×n为A与B的乘积，记为AB
• 如果AB = BA，则称A与B是可交换的
• A ≠ 0且B ≠ 0时，AB可能会等于零矩阵
• 矩阵乘法运算性质:
   结合律:$(AB)C=A(BC)$
   分配律:$A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC$
   $(kA)B=k(AB)=A(kB)$
• A为方阵时，可以定义矩阵A的方幂
  $$A^1=A,A^2=AA,\cdots ,A^k=AA...A(k个A)$$
• 对于方阵A，A的方幂具有下述性质:对任意正整数k,l
   $A^k{A}^l=A^{k+l}$
   $(A^k{)}^l=A^{kl}$
  当A时方阵时，定义A的多项式:设多项式
  $$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$$
  规定
  $$f(A)=a_n{A}^n+a_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +a_{1}A+a_{0}E$$

 ③矩阵的转置

• 设s×n矩阵A = (a_ij)_s×n，A的转置是一个n×s矩阵，其第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素a_ji。A的转置矩阵记为A^T
• 矩阵转置性质:
   $(A^T{)}^T=A$
   $(kA{)}^T=k{A}^T$
   $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
   $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

 ④矩阵的共轭*

 略

可逆矩阵的性质

 ①可逆矩阵与伴随矩阵

• 设n ≥ 2。A^*是n阶方阵A = (a_ij)_nxn的伴随矩阵，则
  $$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$
• 设A是n阶方阵，则A是可逆的当且仅当A的行列式|A| ≠ 0.并且，若n ≥ 2且|A| ≠ 0，则
  $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$
  其中A^*是A的伴随矩阵。

 ②可逆矩阵的性质

• 对于方阵A，若存在矩阵B，使得AB = E，则A是可逆的，并且$B=A^{-1}$
• 若A是可逆矩阵，则A^-1也是可逆的，并且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$
• 若A是可逆矩阵，则A^T也是可逆的，并且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
• 若A是可逆矩阵，数k ≠ 0，则kA也是可逆的，且$(kA{)}^{-1}=k^{-1}{A}^{-1}$
• 对于同阶方阵A,B,乘积AB是可逆的当且仅当A,B均可逆。并且，当AB可逆时，$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

4.线性方程组的求解

• Cramer法则
• Gauss消元法
• 齐次线性方程组有非零解的充要条件是，其系数行列式等于0