【数学问题2】动力学建模

在动力学基础篇我们已经介绍了关节速度与末端执行器速度的关系，这一片将会带大家探讨加速度之间的关系，因为力的作用，总是离不开加速度。

一、公式回顾

对于旋转关节，各连杆的线速度与角速度可以表示为如下：

$${}^{i+1}{\omega }_{i+1}{=}_i^{i+1}R{}^i{\omega }_i+{\dot{\theta }}_{i+1}{}^{i+1}{\hat{Z}}_{i+1}\text{\hspace{1em}(1-1)}$$

$${}^{i+1}{v}_{i+1}{=}_i^{i+1}R({}^i{v}_i+{}^i{\omega }_i\times {}^i{P}_{i+1})\text{\hspace{1em}(1-2)}$$

对于滑动关节，上一章没有给出，推导方法类似，这里直接给出公式：

$${}^{i+1}{\omega }_{i+1}={}_i^{i+1}R{}^i{\omega }_i\text{\hspace{1em}(1-3)}$$

$${}^{i+1}{v}_{i+1}{=}_i^{i+1}R({}^i{v}_i+{}^i{\omega }_i\times {}^i{P}_{i+1})+{\dot{d}}_{i+1}{}^{i+1}{\hat{Z}}_{i+1}\text{\hspace{1em}(1-4)}$$

二、刚体加速度公式

1、线加速度

跟位置与速度关系同理，我们可以通过对速度进行微分得到加速度：

$${}^B{A}_Q=\frac{d^B{V}_Q}{dt}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{{}^B{V}_Q(t+\Delta t){-}^B{V}_Q(t)}{\Delta t}$$

不同参考系下的加速度变换如下：

2、角加速度

$${}^A{\dot{\Omega }}_B=\frac{d^A{\Omega }_B}{dt}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{{}^A{\Omega }_B(t+\Delta t){-}^A{\Omega }_B(t)}{\Delta t}$$

不同参考系下的加速度变换如下，假设参考系$\{B\}$以角速度${}^A{\Omega }_B$相对于参考系$\{A\}$转动，同时参考系$\{C\}$以角速度${}^B{\Omega }_C$相对于参考系$\{B\}$转动：

$${}^A{\Omega }_C={}^A{\Omega }_B+{}_B^A{R}^B{\Omega }_C$$

$${}^A{\dot{\Omega }}_C={}^A{\dot{\Omega }}_B+{}_B^{A}R{}^B{\dot{\Omega }}_C+{}^A{\Omega }_B\times {}_B^A{R}^B{\Omega }_C$$

三、平行移轴定理

平行移轴定理描述了一个以刚体质心为原点的坐标系平移到另外一个坐标系时惯性装量的变换关系。假设$\{C\}$是以刚体质心为原点的坐标系，$\{A\}$为任意平移后的坐标系，则并行移轴定理可以表示为：

$${}^{A}I={}^{C}I+m(P_c^T{P}_c{I}_3-P_c{P}_c^T)$$

式中，$P_c=[x_c{y}_c{z}_c{]}^T$表示刚体质心在坐标系$\{A\}$中的位置。

四、牛顿、欧拉方程

牛顿方程，式中，m为刚体质量
$$F=m{\dot{v}}_c\text{\hspace{1em}(4-1)}$$

欧拉方程，$\dot{\omega },\omega$分别为角加速度和角速度，${}^{C}I$表示刚体质心坐标系中的惯性张量

$$N={}^{C}I\dot{\omega }+\omega \times {}^{C}I\omega \text{\hspace{1em}(4-2)}$$

五、牛顿-欧拉迭代动力学方程

1、加速度迭代

为了计算作用在连杆上的惯性力，需要计算每个连杆在某一时刻的角速度，线加速度，角加速度。

角加速度迭代公式

对1-1角速度公式求导，得到角加速度公式：

线加速度迭代

$${}^{i+1}{a}_{i+1}={}_i^{i+1}R({}^i{a}_i+{}^i{\dot{\omega }}_i\times {}^i{P}_{i+1}+{}^i{\omega }_i({}^i{\omega }_i\times {}^i{P}_{i+1}))$$

质心加速度

$${}^i{a}_{c_i}={}^i{a}_i+{}^i{\dot{\omega }}_i\times {}^i{P}_{c_i}+{}^i{\omega }_i\times ({}^i{\omega }_i\times {}^i{P}_{c_i})$$

式中，$c_i$表示连杆$i$的质心

2、力和力矩的迭代

利用牛顿、欧拉公式计算出作用在连杆上的力和力矩后，计算关节力矩，他们实际是施加在连杆上的力和力矩

将所有作用在
$${}^i{f}_i={}^i{F}_i+{}_{i+1}^{i}R{}^{i+1}{f}_{i+1}$$

$${}^i{n}_i={}_{i+1}^{i}R{}^{i+1}{n}_{i+1}+{}^i{N}_i+{}^i{P}_{c_i}\times {}^i{F}_i+{}^i{P}_{i+1}\times {}_{i+1}^{i}R{}^{i+1}{f}_{i+1}$$

在静力学中，可通过计算一个连杆施加于相邻连杆的力矩在$\hat{Z}$方向的分量求得关节力矩：

$$\tau ={}^i{n}_i^T{}^i{\hat{Z}}_i$$