[HNOI2010]合唱队（区间DP）

题目描述

[HNOI2010]合唱队
题目描述
为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为AAA合唱队负责人的小A需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共N个人，第i个人的身高为Hi米(1000<=Hi<=2000),并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是A 个人站成一排，为了简化问题，小A想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

• 第一个人直接插入空的当前队形中。
• 对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高(H较大)，那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮(H较小)，那么将他插入当前队形的最左边。

当N个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。
例如，有6个人站成一个初始队形，身高依次为1850、1900、1700、1650、1800和1750,
那么小A会按以下步骤获得最终排出的队形：

• 1850
• 1850 , 1900 因为 1900 > 1850
• 1700, 1850, 1900 因为 1700 < 1900
• 1650 . 1700, 1850, 1900 因为 1650 < 1700
• 1650 , 1700, 1850, 1900, 1800 因为 1800 > 1650
• 1750， 1650, 1700，1850, 1900, 1800 因为 1750 < 1800

因此，最终排出的队形是 1750，1650，1700，1850, 1900，1800
小A心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形
输入格式
输出格式
注意要mod19650827
输入输出样例
输入样例 #1
4
1701 1702 1703 1704
输出样例 #1
8
说明
30%的数据：n<=100
100%的数据：n<=1000

思路

这道题，我提交了好多次，反正就是会有WA的以及TLE的神奇的错误。
但是，这道题的思路还是很好的，考虑的所有的相关的因素。

思路：

这道题中由于是不断地由小区间变成大区间的一个过程(每次加进来一个人就会导致队伍的长度扩大)，那么， 我们就可以由若干个小区间组成一个大区间。所以，我们可以考虑使用区间DP。

思考状态应该是什么呢？？
当我们的区间扩大一个人的时候（也就是新加入一个人）：

1. 当这个人被加入到队列的左边$i$的位置的时候，$i$前面的一个人可以是$i+1$或者是$j$；
2. 当这个人被加入到队列的右边的$j$的位置的时候，$j$前面的一个人可以是$i$或者是$j-1$。

所以，我们就可以发现：状态转移的时候我们需要考虑的因素有：此时是第几个人，这个人要被加入到队列中的哪个位置，他前面的人是谁。

因为这道题是区间DP，所以，我们的状态中肯定会有区间的左右端点的信息，又因为我们要保留新加入的人被安排的位置，所以我们用三维的状态表示：$f[i][j][0/1]$表示的是当前区间$[i,j]$被加入的最后一个是在队列的左边(0)还是右边(1)。

然后，我们考虑这道题目要怎么转移？

我们可以发现这道题的位置转移的时候是会有身高高度的限制的：

• 当被加入到队列的左边的时候：那么这个人是一定要小于他前面的人的身高的。（此时，他前面的人是有两种可能的，也就是说只有在满足前面的条件的时候，这两种可能才可以进行转移。）
• 同理， 当被加入到队列的右边的时候：那么这个人是一定要大于他前面的人的身高的。

那么，状态转移就已经出来了：
$f[i][j][0]+=f[i+1][j][0]\ast (h[i]<h[i+1])+f[i+1][j][1]\ast (h[i]<h[j])$
$f[i][j][1]+=f[i][j-1][0]\ast (h[j]>h[i])+f[i][j-1][1]\ast (h[j]>h[j-1])$

之后，我们考虑一下状态的初始化应该是什么？

当队列中只有一个人的时候，当然方案也是固定的，就只有一种方案。

那，我们的状态初始化应该是 $f[i][i][0]=f[i][i][1]=1?$
如果，你也是这样想的话，那么恭喜你，你将获得WA声一片。

那么，上面的初始化为什么是错误的呢？？如果我们是这样的初始化的话，那么，我们其实就默认了一个人的时候是有两种方案的（可以从左边进来或者是从右边进来），但是，实际上一个人的时候是不分什么左右的，也就是说，这两种状态加起来也就只有一种方案，所以，我们随便为其中的一种状态赋值就好了。

那么，最后的目标状态就应该是$f[1][n][1]+f[1][n][0]$.

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code

#include
using namespace std;

const int nn=1003;
typedef long long ll;
const int MOD=19650827;

int n, a[nn];
ll f[nn][nn][2];

inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return x*f;
}

int main()
{
	n=read(); 
	for(int i=1;i<=n;++i)	a[i]=read(), f[i][i][0]=1;
	for(int len=2;len<=n;++len)
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			int j=i+len-1;
			if(a[i]<a[j])	f[i][j][0]+=f[i+1][j][1];
			if(a[i]<a[i+1])	f[i][j][0]+=f[i+1][j][0];
			if(a[j]>a[j-1])	f[i][j][1]+=f[i][j-1][1];
			if(a[j]>a[i])	f[i][j][1]+=f[i][j-1][0];
			f[i][j][1]%=MOD, f[i][j][0]%=MOD;
		}
	printf("%lld\n", (f[1][n][0]+f[1][n][1])%MOD);
	return 0;
}

最后的错误总结

• 一定要记得取模，什么时候都要进行取模。
• 注意要把自己的调试代码全部注释掉，全部注释掉哦！！不可遗漏。