[HNOI2010]合唱队(区间DP)

题目描述

[HNOI2010]合唱队
题目描述
为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果,作为AAA合唱队负责人的小A需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共N个人,第i个人的身高为Hi米(1000<=Hi<=2000),并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是A 个人站成一排,为了简化问题,小A想出了如下排队的方式:他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形,然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中:

  • 第一个人直接插入空的当前队形中。
  • 对从第二个人开始的每个人,如果他比前面那个人高(H较大),那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮(H较小),那么将他插入当前队形的最左边。

当N个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。
例如,有6个人站成一个初始队形,身高依次为1850、1900、1700、1650、1800和1750,
那么小A会按以下步骤获得最终排出的队形:

  • 1850
  • 1850 , 1900 因为 1900 > 1850
  • 1700, 1850, 1900 因为 1700 < 1900
  • 1650 . 1700, 1850, 1900 因为 1650 < 1700
  • 1650 , 1700, 1850, 1900, 1800 因为 1800 > 1650
  • 1750, 1650, 1700,1850, 1900, 1800 因为 1750 < 1800

因此,最终排出的队形是 1750,1650,1700,1850, 1900,1800
小A心中有一个理想队形,他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形
输入格式
输出格式
注意要mod19650827
输入输出样例
输入样例 #1
4
1701 1702 1703 1704
输出样例 #1
8
说明
30%的数据:n<=100
100%的数据:n<=1000

思路

这道题,我提交了好多次,反正就是会有WA的以及TLE的神奇的错误。
但是,这道题的思路还是很好的,考虑的所有的相关的因素。

思路

这道题中由于是不断地由小区间变成大区间的一个过程(每次加进来一个人就会导致队伍的长度扩大),那么, 我们就可以由若干个小区间组成一个大区间。所以,我们可以考虑使用区间DP。

思考状态应该是什么呢??
当我们的区间扩大一个人的时候(也就是新加入一个人):

  1. 当这个人被加入到队列的左边 i i i的位置的时候, i i i前面的一个人可以是 i + 1 i+1 i+1或者是 j j j
  2. 当这个人被加入到队列的右边的 j j j的位置的时候, j j j前面的一个人可以是 i i i或者是 j − 1 j-1 j1

所以,我们就可以发现:状态转移的时候我们需要考虑的因素有:此时是第几个人,这个人要被加入到队列中的哪个位置,他前面的人是谁。

因为这道题是区间DP,所以,我们的状态中肯定会有区间的左右端点的信息,又因为我们要保留新加入的人被安排的位置,所以我们用三维的状态表示: f [ i ] [ j ] [ 0 / 1 ] f[i][j][0/1] f[i][j][0/1]表示的是当前区间 [ i , j ] [i,j] [i,j]被加入的最后一个是在队列的左边(0)还是右边(1)。

然后,我们考虑这道题目要怎么转移

我们可以发现这道题的位置转移的时候是会有身高高度的限制的:

  • 当被加入到队列的左边的时候:那么这个人是一定要小于他前面的人的身高的。(此时,他前面的人是有两种可能的,也就是说只有在满足前面的条件的时候,这两种可能才可以进行转移。)
  • 同理, 当被加入到队列的右边的时候:那么这个人是一定要大于他前面的人的身高的。

那么,状态转移就已经出来了:
f [ i ] [ j ] [ 0 ] + = f [ i + 1 ] [ j ] [ 0 ] ∗ ( h [ i ] < h [ i + 1 ] ) + f [ i + 1 ] [ j ] [ 1 ] ∗ ( h [ i ] < h [ j ] ) f[i][j][0]+=f[i+1][j][0]*(h[i]f[i][j][0]+=f[i+1][j][0](h[i]<h[i+1])+f[i+1][j][1](h[i]<h[j])
f [ i ] [ j ] [ 1 ] + = f [ i ] [ j − 1 ] [ 0 ] ∗ ( h [ j ] > h [ i ] ) + f [ i ] [ j − 1 ] [ 1 ] ∗ ( h [ j ] > h [ j − 1 ] ) f[i][j][1]+=f[i][j-1][0]*(h[j]>h[i])+f[i][j-1][1]*(h[j]>h[j-1]) f[i][j][1]+=f[i][j1][0](h[j]>h[i])+f[i][j1][1](h[j]>h[j1])

之后,我们考虑一下状态的初始化应该是什么?

当队列中只有一个人的时候,当然方案也是固定的,就只有一种方案。

那,我们的状态初始化应该是 f [ i ] [ i ] [ 0 ] = f [ i ] [ i ] [ 1 ] = 1 ? f[i][i][0]=f[i][i][1]=1? f[i][i][0]=f[i][i][1]=1?
如果,你也是这样想的话,那么恭喜你,你将获得WA声一片。

那么,上面的初始化为什么是错误的呢??如果我们是这样的初始化的话,那么,我们其实就默认了一个人的时候是有两种方案的(可以从左边进来或者是从右边进来),但是,实际上一个人的时候是不分什么左右的,也就是说,这两种状态加起来也就只有一种方案,所以,我们随便为其中的一种状态赋值就好了。

那么,最后的目标状态就应该是 f [ 1 ] [ n ] [ 1 ] + f [ 1 ] [ n ] [ 0 ] f[1][n][1]+f[1][n][0] f[1][n][1]+f[1][n][0].


code

#include
using namespace std;

const int nn=1003;
typedef long long ll;
const int MOD=19650827;

int n, a[nn];
ll f[nn][nn][2];

inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return x*f;
}

int main()
{
	n=read(); 
	for(int i=1;i<=n;++i)	a[i]=read(), f[i][i][0]=1;
	for(int len=2;len<=n;++len)
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			int j=i+len-1;
			if(a[i]<a[j])	f[i][j][0]+=f[i+1][j][1];
			if(a[i]<a[i+1])	f[i][j][0]+=f[i+1][j][0];
			if(a[j]>a[j-1])	f[i][j][1]+=f[i][j-1][1];
			if(a[j]>a[i])	f[i][j][1]+=f[i][j-1][0];
			f[i][j][1]%=MOD, f[i][j][0]%=MOD;
		}
	printf("%lld\n", (f[1][n][0]+f[1][n][1])%MOD);
	return 0;
}

最后的错误总结

  • 一定要记得取模,什么时候都要进行取模。
  • 注意要把自己的调试代码全部注释掉,全部注释掉哦!!不可遗漏。

你可能感兴趣的:(动态规划————区间DP)