最长上升子序列
最长上升子序列问题是各类信息学竞赛中的常见题型，也常常用来做介绍动态规划算法的引例，笔者接下来将会对POJ上出现过的这类题目做一个总结，并介绍解决LIS问题的两个常用
算法(n^2)和(nlogn).
问题描述:给出一个序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7....an,求它的一个子序列（设为s1,s2,...sn），使得这个子序列满足这样的性质，s1
算法1(n^2):我们依次遍历整个序列，每一次求出从第一个数到当前这个数的最长上升子序列，直至遍历到最后一个数字为止，然后再取dp数组里最大的那个即为整个序列的最长上升子序列。我们用dp[i]来存放序列1-i的最长上升子序列的长度，那么dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 显然dp[1]=1,我们从i=2开始遍历后面的元素即可。
下面是模板：
//最长上升子序列(n^2)模板
//入口参数：1.数组名称 2.数组长度（注意从1号位置开始）
template
int LIS(T a[],int n)
{
int i,j;
int ans=1;
int m=0;
int *dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
m=0;
for(j=1;j
if(dp[j]>m&&a[j]
}
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
}
return ans;
}
算法2(nlogn):维护一个一维数组c，并且这个数组是动态扩展的，初始大小为1，c[i]表示最长上升子序列长度是i的所有子串中末尾最小的那个数，根据这个数字，我们可以比较知道
，只要当前考察的这个数比c[i]大，那么当前这个数一定能通过c[i]构成一个长度为i+1的上升子序列。当然我们希望在C数组中找一个尽量靠后的数字，这样我们得到的上升子串的长度最长，查找的时候使用二分搜索，这样时间复杂度便下降了。
模板如下：
//最长上升子序列nlogn模板
//入口参数:数组名+数组长度，类型不限，结构体类型可以通过重载运算符实现
//数组下标从1号开始。
/**//BEGIN_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM
template
int bsearch(T c[],int n,T a)
{
int l=1, r=n;
while(l<=r)
{
int mid = (l+r)/2;
if( a > c[mid] && a <= c[mid+1] )
return mid+1; // >&&<= 换为: >= && <
else if( a < c[mid] )
r = mid-1;
else l = mid+1;
}
}
template
int LIS(T a[], int n)
{
int i, j, size = 1;
T *c=new T[n+1];
int *dp=new int[n+1];
c[1] = a[1]; dp[1] = 1;
for(i=2;i<=n;++i)
{
if( a[i] <= c[1] ) j = 1;// <= 换为: <
else if( a[i] >c[size] )
j=++size; // > 换为: >=
else
j = bsearch(c, size, a[i]);
c[j] = a[i]; dp[i] = j;
}
return size;
}
/**//END_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM
下面是pku上有关LIS的题
PKU 2533 ——Longest Ordered Subsequence 裸LIS，没什么可说的
#include
using namespace std;
int a[2000];
template
int LIS(T a[],int n)
{
int i,j;
int ans=1;
int m=0;
int *dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
m=0;
for(j=1;j
if(dp[j]>m&&a[j]
}
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
}
return ans;
}
int main ()
{
int n;
int i;
int finalmax=0;
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
printf("%d\n" ,LIS(a,n));
return 0;
}
PKU 1631——Bridging signals 这题用N^2算法要超时，必须使用NlogN的算法
#include
#include
using namespace std;
const int N = 40000;
int a[N];
//最长上升子序列nlogn模板
//入口参数:数组名+数组长度，类型不限，结构体类型可以通过重载运算符实现
//数组下标从1号开始。
/**//BEGIN_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM
template
int bsearch(T c[],int n,T a)
{
int l=1, r=n;
while(l<=r)
{
int mid = (l+r)/2;
if( a > c[mid] && a <= c[mid+1] ) return mid+1; // >&&<= 换为: >= && <
else if( a < c[mid] ) r = mid-1;
else l = mid+1;
}
}
template
int LIS(T a[], int n)
{
int i, j, size = 1;
T *c=new T[n+1];
int *dp=new int[n+1];
c[1] = a[1]; dp[1] = 1;
for(i=2;i<=n;++i)
{
if( a[i] <= c[1] ) j = 1;// <= 换为: <
else if( a[i] >c[size] )
j=++size; // > 换为: >=
else
j = bsearch(c, size, a[i]);
c[j] = a[i]; dp[i] = j;
}
return size;
}
/**//END_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM
int main()
{
int testcase;
int n;
scanf("%d",&testcase);
int i,j;
for(i=1;i<=testcase;i++)
{
scanf("%d",&n);
for(j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&a[j]);
printf("%d\n",LIS(a,n));
}
return 0;
}
PKU 1887——Testing the CATCHER 最长不升子序列，再次纪念下第一道动归题
Posted by abilitytao at 2008-09-25 00:50:48 on Problem 1887
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int num[10000];
int dp[10000];
int main()
{
int n;
int i,j;
int len;
int max;
int finalmax;
int flag=1;
while(scanf("%d",&n))
{
if(n==-1)
break;
num[0]=n;
for(i=1;;i++)
{
scanf("%d",&n);
if(n==-1)
break;
else
num[i]=n;
}
len=i-1;
dp[len]=1;
for(i=len-1;i>=0;i--)
{
max=0;
for(j=i+1;j<=len;j++)
{
if(dp[j]>max&&num[j]
}
dp[i]=max+1;
}
finalmax=0;
for(i=0;i<=len;i++)
{
if(dp[i]>finalmax)
finalmax=dp[i];
}
printf("Test #%d:\n maximum possible interceptions: %d\n\n",flag,finalmax);
flag++;
}
return 0;
}
PKU 1609 Tiling Up Blocks 二维最长不下降子序列
#include
#include
using namespace std;
#define MAX 100001
int dp[MAX];
struct node
{
int a,b;
}l[MAX];
int cmp(const void *a,const void *b)
{
struct node c=(*(node*)a);
struct node d=(*(node*)b);
if(c.a!=d.a)
return c.a-d.a;
else return c.b-d.b;
}
int main()
{
int n;
int i,j;
int maxnum;
while(scanf("%d",&n))
{
maxnum=1;
if(n==0)
{
printf("*\n");
break;
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&l[i].a,&l[i].b);
}
qsort(l+1,n,sizeof(l[1]),cmp);
dp[1]=1;
int temp;
for(i=2;i<=n;i++)
{
temp=0;
for(j=1;j<=i-1;j++)
{
if(dp[j]>temp&&l[i].a>=l[j].a&&l[i].b>=l[j].b)
temp=dp[j];
}
dp[i]=temp+1;
if(dp[i]>maxnum)
maxnum=dp[i];
}
printf("%d\n",maxnum);
}
return 0;
}