律制闲谭（1）

往日里我们北航飞天合唱团排练，往々涉及到律学这个话题。不过囿于时间限制，每一回讲一点々就浅尝辄止，以待团员们在“有时间的时候”进一步的探究。不过，作为新世纪的大学（lǎn）生（chóng），其实都明白，这“有时间的”时刻呢，其实永远不会有。于是，为了照顾列位喷薄的求知欲和每况愈下的懒惰程度，我决定花一点功夫，用几篇文章的时间，跟列位谈々不同的律制的区别到底是什么，并试图说明这些五花八门的律制出现的原因。

注意：读这篇文章只需要有高一及以上的数学知识储备及相应的理解能力。

图1（前排围观。来源：百度图片搜索）

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书归正传。我们知道，音的绝对准确高度及其相互关系叫做音律，确定音律的方法叫做律制。翻译成人话就是，律制决定了：（1）一个音的音高（亦即其频率）、（2）音阶中两个音的音程（音之间的距离）。当今，常见的律制有五度相生律、十二平均律、纯律三种。先不要管分别是什么含义——如果能看书看懂的话，列位早用不着看这篇文章了。

通过翻书/冲浪/问人，可以很轻易地得到下面这张三种律制下的音高表（好吧，其实也不太容易）。这里认为a1（小字一组的la）无论在何种律制下都是440Hz（亦即日常生活中所说的标准音la——家里座机的电流声就是这个音高）。

表1（不同律制下C大调音阶的音高。单位：赫兹。来源：自制）

通过观察表格，我们可以轻易得出结论：“这**的是个什么玩意？”

图2（准哥（划去）黑人问号.jpg。来源：百度图片搜索）

列位问我，我也不知道。可见，直接观察不同律制下每一级音的频率，是没有太大意义的。现在我们换个思路。前面说过，律制决定了两个音之间的音程，于是我们换个方式，观察三种律制下，每个音到主音C的频率之比。

表2（不同律制下，与主音c1的频率的比值。来源：自制）

这看起来就规律多了。首先，一个八度（c1到c2）的关系在每种律制中都是2:1的关系，事实上，这的确是一个具有普遍性的结论。

结论1：相邻纯八度的两个音，其频率之比是2:1。

例如，我们知道a1的音高是440Hz，那么上一个八度（小字二组）的a2是880Hz，下一个八度（小字组）的a则是220Hz。值得特意强调的是，相邻两个八度（称作纯十五度）的比例关系是2*2=4倍。n个八度之间的比例就是2^n倍。

这是个好兆头。看来这条路算是走对了，现在我们继续观察，根据小学三年级数学知识可以推出：

表3（五度相生律及纯律下，与主音c1的频率的比值。来源：自制）

五度相生律和纯律中的音程都是（相对）比较简单的分数的形式。那么，十二平均律又遵循什么样的规律呢？在结论1中纯八度音程的二倍关系启发我们，音程或许可能具有指数关系。模电和自控的学习经验也告诉我们，没有比例关系的数据，往往通过对数运算可以发现显著规律（幅频特性曲线）。于是，不失一般性地，我们对着十二平均律的比值做以2为底的对数运算（别问我为什么）。

这个结论就很明显了。易知：

表4（十二平均律下，与主音c1频率比值的对数。来源：自制）

结论2：十二平均律是把一个八度的音程按频率分成“十二份”（每一份半音。类似地，每两份称作全音，这与我们之前讲的内容也是吻合的），各相邻两律之间的振动数之比是“完全平均的”。

可见，十二平均律的确是名符其实的。Так что！

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现在我们总结如下，（1）纯八度音程的二倍关系是普适的。（2）十二平均律是一种把一个八度分做十二等份的律制。然而我们赫然发现，没有解决的问题远比解决了的要多得多。这些问题是：（1）五度相生律和纯律是如何定义的、和名称有什么关系？（2）三种律制为什么会这么安排？分别满足了正常人类欣赏音乐的什么原则？（3）哪种律制更“好”？

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如果你对这些问题还抱有兴趣，请关注《律制闲谭》系列的下一章节，我们会在接下来的时日里探讨这些问题。我慢慢侃，您慢慢看。山高水长，愿我们在音乐的海洋里重逢！再会。

图3（来源：百度图片搜索）