Bourbaki集合论（5）第1章 形式化数学的描述

Bourbaki集合论（5）

CHAPITRE I 

.

Description de   la

.

 Mathematiques  Formelle 

.

第1章 形式化数学的描述.

，

$1.  项与关系

1. 一门数学理论由下列符号组成：

    1^o. 符号与符号串  .

    2^o. 字母:  我们把字母理解为大小写、带撇或或不带撇的拉丁字母，因此，A, A', A", A'",..., 都是字母。根据需要，我们会在课文的任何地方引入其他的字母；

    3^o. 依赖于所考察理论使用的专用符号:  例如，在集合论中，我们将使用下列2个符号：

                                                                      （等于，属于:）

     一个理论T的符号串（assemblage）就是一个紧挨一个连续写下来的T 中符号所组成的串。其中有些不同于字母的符号，它们可以用置于符号上的直线条两两连接，叫链接（lien）。例如，在集合论中，是特殊符号，而

就是一符号串。

L’usage exclusif des assemblages conduirait à desdifficultés typographiques et mentales insurmontables. C’est pourquoi lestextes courants utilisent des symboles abréviateurs (notamment des mots dulangage ordinaire), qui n’appartiennent pas à

la mathématique formelle.L’introduction de ces symboles est l’objet des définitions.Leur emploi n'est pasthéoriquement indispensable, et prête souvent à desconfusions que seule une certaine habitude permet d’éviter.

Exemples. — 1 ) L’assemblage v t se représente par =>.

2) Les symboles suivants représentent des assemblages (d’ailleurs fortlongs) :

« 3 et 4 »

0

N

Z

« la droite numérique »

« la fonction F »

f°_g
k = V 2 + V 3
1 e 2

« tout corps fini est commutatif »

« les zéros de Ç(r) autres que —2, —4, — 6, . . .sont sur la droite M(s) =                                     ».

Engénérai, le symbole qu’on utilise pour représenter un assemblage contienttoutes les lettres qui figurent dans cet assemblage. Parfois cependant, on peuten­freindre ce principe sans grand risque de confusion. * Par exemple « lacomplétion de E » représente un assemblage qui contient la lettre E, mais quicontient aussi la lettre représentant l’ensemble des entourages de la structureuniforme de E. Par contre Jo f(^x)dx représente un assemblage où ne figure pas lalettre ,v (ni la lettre d) ;les assemblages représentés par N, Z, « la fonction F » ne contiennent aucune lettre.*

Une théorie mathématique (ou simplement théorie)comporte des règles permettant de dire que certains assemblages de signes sontdes termes ou des relations de la théorie, et d’autres règles permettant de dire que certains assemblagessont des théorèmes de lathéorie.

Ladescription de ces règles, qui va être faite dans ce chapitre, n’appartientpas à la mathématique formelle; il y intervient desassemblages plus ou moins indéterminés, par exemple des lettres indéterminées. Pouralléger l’exposé, il est commode de désigner ces assemblages par des symbolespeu encombrants. Nous utiliserons notamment des combinaisons de signes (d’unethéorie mathématique), de lettres italiques grasses (éventuellement affectéesd’indices ou d’accents) et de symboles particuliers, dont on va donner quelquesexemples. Comme on veut seulement éviter descirconlocutions (cf. note¹de I, p.25), on n’énoncera pas de règles strictes et générales relatives à l’emploi deces symboles; le lecteur pourra reconstituer sans peine, dans chaque casparticulier, l’assemblage dont il s’agit. Par abus de langage, on dira souventque les symboles employés sontdes assemblages, au lieu de dire qu’ils désignent des assemblages; des expressions telles que « l’assemblage A » ou « la lettre x »,dans l’énoncé des règles qui suivent, devraient donc être remplacées par «l’assemblage désigné par A » ou« la lettre désignée par x ».

Soient A et B desassemblages. On désignera par AB l’assemblage obtenu en écrivant l’assemblage B à la droite del’assemblage A. On désignerapar v A u B l’assemblage obtenu en écrivant de gauche à droite le signe v ,l’assemblage A, le signe u,l’assemblage B. Etc.

Soient A un assemblage, et x une lettre. On désignera par t_x(A) l’assemblage

obtenu de la manière suivante: on forme l’assemblage rA, on joint par un lien chaque occurrence de x dans Aaur écrit àla gauche de A, et onremplace x, enchacune de ses occurrences, par un L’assemblage désigné par xJA)ne contient donc pas x.

Exemple. — Le symbole x_x(e xy) représente l’assemblage te [2y.

Soient A et B desassemblages, et x une lettre.L’assemblage obtenu en rem­plaçant x, en chacune de ses occurrences dans A, par l’assemblage B, se désigne par (B | x)A (lire: B remplace x dans A). Si * nefigure pas dans A, (B ] x)A est doncidentique à A \ enparticulier (B | x)xJA) estidentique à t*(A).

Exemple. — Lorsque dans l’assemblage

V £ xy — xx

onremplace x par □ en chacune de sesoccurrences, on obtient l’assemblage

v e ny =

Lorsque, étant donné un assemblage A, on s’intéresse particulièrement à une lettre x, ou à deux lettres distinctes X et y (qui peuventou non figurer dans A), on écritsouvent ou A\x, y|. Dans cecas, on écrit A\B\ au lieu de(B j x)A. On désigne par A\B,C\ l’assemblage obtenu en remplaçant simultanémentx par B et y par C en toutesleurs occurrences dans A (onnotera que x et _y peuventfigurer dans B et dans C) ; si x' et y' sont deslettres distinctes de x et de y et distinctes entre elles, ne figurant ni dans A, ni dans B, ni dans C, A\B,C\ n’est autre que (B 1 x’)(C | /)(#' | *)(/ | y)A.

Remarque. — Quand on introduit, par une définition, un symbole abréviateur ilpour représenter un certain assemblage, on convient (en général de façontacite) de représenter l’assemblage obtenu par la substitution à une lettre x d’un assemblage B dansl’assemblage initial, par le symbole obtenu en remplaçant la lettre x dans S par l’assemblage B (ou plus fréquemment par un symbole abréviateur représentantl’assemblage B).

*   Par exemple, après avoir préciséquel assemblage représente le symbole E ® F, où E et F sontdes lettres, — assemblage qui, d’ailleurs, contient d’autres lettres que Eet F — on utilisera sans explications le symbole Z® F.*

Cette règle peut conduire à des confusions qu’on évitepar des artifices typo­graphiques variés, dont le plus fréquent consiste àremplacer X par (B) au lieude B.

*    Par exemple, M n N désigne un assemblage contenant la lettre N. Si onsubstitue à N l’assemblage représenté par P U Q_on obtient un assemblage quel’on désigne par M n (Pu Q,).*

2.    Critères de substitution

Lamathématique formelle ne comporte que des assemblages explicitement écrits.Cependant, même avec l’usage des symboles abréviateurs, un développement de lamathématique strictement conforme à ce principe conduirait à des raissonne-ments extrêmement longs. Aussi allons-nous, établir dans ce Livre des critères,concernant des assemblages indéterminés, et dontchacun décrira une fois pour toutes le résultat final d’une successiondéterminée de manipulations sur ces assemblages. Ces critères ne sont donc pasthéoriquement indispensables; leur justification appartient à la métamathématique.

Ledéveloppement de la métamathématique nécessite lui-même pratiquement l’usage desymboles abréviateurs, dont certains ont déjà été indiqués. La plupart de cessymboles seront aussi utilisés en mathématique.

On se servira des critères suivants, appelés critèresde substitution :

CS1. Soient A et B desassemblages,xetx'des lettres. Six'ne figure pas dansA,(B|x)Aest identique à(B|x')(x^!jx)A.

CS2. Soient A, B et C desassemblages, x etydeslettres distinctes^[3]. Siyne figure pas dansB,(B | x)(C |y)A est identique à (C |y)(B|x)A,oùC est l’assemblage(B|x)C.

CS3. Soient A un assemblage, A' etx'des lettres. Six'ne figure pas dansA,t^A) est identique à ^(Aj, oùA'estVassemblage(x'jx)A.

CS4. Soient A et B desassemblages,xetydes lettres distinctes. Sixne figure pas dansB, (B|y)z_x(A)est identique àt„(A'), oùA'est l’assemblage(B|y) A.

CS5. Soient A, B, C des assemblages, x une lettre. Les assemblages (C | Jt)(i4), (C| *)( V AB), (C| x)(=>AB), (C) x)(sAB)(s signespécifique) sont identiques respectivement à nA', vA'B',->A'B',sA'B',oùA', B'sontrespectivement (C | a) A,(C|x)B.

Indiquonspar exemple le principe de la vérification de CS2. Comparons l’opéra­tion quifait passer de A à (B j x)(C \ y)A àl’opération qui fait passer de A à (C' | y)(B | x)A. Dansles deux opérations, aucun signe figurant dans A et distinct de x etde y n’est modifié. A chaque endroit oùfigure x dans A, on doit substituer B à X dans la première comme dans la seconde opération: c’est évident pour lapremière, et pour la seconde cela résulte de ce que y ne ligure pas dans B. Enfin, à chaque endroit où figure y dans A, lapremière opération consiste à substituer C à y, puis B à x à chaqueendroit où figure x dans C;mais il est clair que cela revient à sub­stituer à y, à chaque endroit où il figure dans A, l’assemblage (B | x)C.

3.    Constructions formatives

A chaque signespécifique est associé un nombre entier, appelé son poids (pratique­ment toujours le nombre 2).

Un assemblage est dit de première espèce s’il commence par un t, ou s’il se réduit à une lettre, de deuxièmeespèce dans les autres cas.

Une construction fiormative d’une théorie ■d~ estune suite d’assemblages qui possède lapropriété suivante: pour chaque assemblage A de la suite, l’une des conditions ci-dessousest vérifiée:

a)   A est une lettre.

b)  Il y a, dans la suite, unassemblage de deuxième espèce B précédant A, tel que Asoit iB.

c)   Il y a deux assemblages dedeuxième espèce B et C précédant A (distincts ou non) tels que A soit v BC.

d)   Il y a un assemblage dedeuxième espèce B précédantA et une lettre * tels que A soit t*(B).

e)   Il y a un signe spécifique sde poids n¹ de , et nassemblages de première espèce A_1} A₂,. . ., A_n précédant A, tels que A soit sA₁A₂.. . A_n.

On appelle termes(resp. relations) de 3T les assemblages de première espèce (resp. de deuxième espèce) figurantdans les constructions formatives de T.

Exemple. — * Dans la théorie des ensembles, où e est un signe spécifique depoids 2, la suite des assemblages que voici est une construction formative:

A

A'

A" e AA' e AA"

-i e AA'

V n gAA' e AA"

1P"                              1                                      i

T V n G QA' 6 □ A".

Donc l’assemblage donné en exemple au n° 1 est un termede la théorie des ensembles. *

Remarque. — Intuitivement, les termes sont des assemblages qui représentent des objets, les relations sont des assemblages qui représentent des assertions que l’on peut faire sur des objets. La condition a) signifie que les lettres représentent des objets. La condition b) signifie que, si B estune assertion, n B, qu’onappelle la négation de B,est une assertion (qui sc lit: non B). La condition c)signifie que, si B et C sont des assertions. V BC, qu’on appelle la disjonction de B et C, est une assertion (qui se lit: B ou C) ; ainsi =>BC estune assertion (qui se lit: « non B ou C », ou « B implique C», ou « B entraîne C»), La condition d) signifie que, si B est une assertion et x une lettre, tx(B) est un objet; considérons l’assertion B comme exprimant une propriétéde l’objet x; alors,s’il existe un objet possédant la propriété en question, t_t(B) représente un objet privilégié cpti possède cette propriété; sinon, t*(B) représente un objet dont on ne peut rien dire. Enfin, la condition e) signifie que, si A₁, A₂, . . ., A_n sont des objets, et $ un signe spécifique de poids n,sA₁A_s. ■ .A_n estune assertion relative aux objets A_u . .., A_n.

Exemples. — Les symboles 0, N, « la droite numérique », « la fonction T », f °g, représentent des termes. Les symboles t:= V2 + V3, 1 s 2, « tout corps fini estcommutatif», «les zéros de Z(s) autres que —2, — 4, —6,..., sont sur la droite M(s) = \ », représentent des relations. Le symbole « 3 et 4 » ne représente niun terme, ni une relation.

¹ Comme il a été dit ci-dessus, on pourrait,pour développer les théories mathématiques actuelles, se borner à ne considérerque des signes spécifiques de poids 2, et par conséquent ne pas utiliserl’expression « nombre entier n » dans la définition d’une construction formative.

Le signe initial d’une relation est V, ~i ou un signe spécifique ; le signe initial d’unterme est x, à moins que le terme ne se réduise à une lettre. En effet, l’asser­tionrelative aux termes résulte de ce qu’un terme est un assemblage de premièreespèce. Si A est unerelation, A figure dansune construction formative, n’est pas une lettre et ne commence pas par un x;donc trois cas sont possibles: 1) A est précédé d’un assemblage B tel que A soit iB; 2) A est précédépar deux assem­blages B et C tels que A soit vBC; 3) A est précédépar des assemblages A_u A₂, . .., A_n tels que A soit sA±A₂.. ,A_n, s étant un signe spécifique.

4.    Critères formatifs

CEI.Si A et B sont des relations d'une théorie -T,V AB est une relation de f.

En effet, considérons deux constructions formatives (de 3~) dont l’une contient A et l’autre B.Considérons la suite d’assemblages obtenue en écrivant d’abord les assemblagesde la première construction, puis les assemblages de la deuxième, puis vAB. Comme A et B sont de deuxième espèce, onvérifie aussitôt que cette suite est une construction formative de -T. L’assemblage v ABest de deuxième espèce, donc est une relation de .

On établit de façon analogue les trois critères suivants:

CF2.Si A est une relation d'une théorie -T,nA est une relation de 2T.

CF3.Si A est une relation d'une théorie :T, et x unelettre, x_x(A) est un terme de T.

CF4. Si A_u A_a,...,A_nsont des termes d'une théorie ,T, et s un signe spécifique de poids n de ST, sA₁A₂. . . A_n est une relation de .

Ces critères entraînent aussitôt le suivant :

CF5.Si A et B sont des relations d'une théorie -T,=>AB est une relation de .

CF6.Soit A₁, A₂,■ . - , A_n une construction formatived'une théorie é7~, x etydes lettres. Supposons queyne figure pas dans les A_t. Alors, (y | x)A_1;(y | x)A₂,. . ., (y I *)^An est uneconstruction formative de J .

En effet, soit A\l’assemblage (y | x)A_t. Si A_i est une lettre, A\ est une lettre. Si Aj est de la forme iA_f, où Aj est unassemblage de deuxième espèce qui précède A, dans la construction, A' est identique à n A] d’après CS5, et A( est un assemblage de deuxième espèce. On raisonnede façon analogue si A, estde la forme V AjA_k ou sAj Aj . . .A_jm, s étant un signespécifique de éT. Si enfinA_i est de la forme xfAf, où Aj est unassemblage de deuxième espèce précédant Ai dans la construction, plusieurs cas peuvent se présenter :

a) zest une lettre distincte de x et de y; alors A\ est identique à x₃(A'-)d’après CS4, et Aj est un assemblage de deuxième espèce;

b)  z est identique à x:alors A_{ ne contient pas x, donc A\ estidentique à A_t, c’est-à-dire à x*(A_;) ; comme y ne figurepas dans A_s, t_x{A_}) est identique à T_v{A'j) d’après CS3;

c)z est identique à y : alorsA_t est l’assemblage tAj puisque y ne figure pasdans A,; donc A'_t est l’assemblage tA',c’est-à-dire t_u(A)), u étant une lettre qui ne figure pas dans A).

CF7. Soient A une relation(resp. un terme) d'une théorie F, x et y des lettres. Alors (yj x)A est une relation (resp. un terme) de F.

Soit A_1}A₂,. . A_n uneconstruction formative où figure A. Montrons de proche en proche que, si A_t est une relation (resp. un terme), (y | s)A„ que nous désignerons par AJ, est une relation (resp. un terme).Supposons ce point établi pour A_x, A₂,..        _x et établissons-le pour A_t. Si A, est unelettre, AJ est une

lettre. Si A_t est précédé dans la construction par une relation A_y telleque A_t soit ~iAj,A' est identique à ~iAJ, d’après CS5, et ~iAJ estune relation d’après CF2. On procède de façon analogue si A_t est précédé par des relations A,-, A_k telles que A_isoit V AjA_k, ou par des termes A_h, ..., A_jm tels que A₍ soit sA_jl. . . A_jm, où s est unesigne spécifique de AT de poids m. Si enfin A_; est précédé par une relation Aj telle que A_{ soit T_z(Aj), plusieurs cas peuvent se présenter:

a) z est distinct de x etde y : alors A' est identique à r_z(A'j) d’après CS4, et on sait déjà que A) est une relation, donc A' est un terme d’après CF3;

b) z est identique à x:alors A_i ne contient pas x, donc A\ estidentique à A₍, et par suite est un terme;

c)z est identique à y.Soit alors u une lettredistincte de x et de y, et qui ne figure pas dans A_1} A₂,. . ., A_;;d’après CF6, la suite d’assemblages (u j y)A_1}...,(« | y)Aj, quenous désignerons par A'j,. .., A", constitue une construction formative deF; comme y ne figure plus dans cette nouvelle construction, (y | x)A'j,..., (y | x)A" est une construction formative en vertu deCF6, de sorte que (y \ x)A" est une relation de F; par suite, r_u((y | x) A")est un terme de F. Mais ceterme est identique à (y | *)t_u(AJJ) d’après CS4, donc à (y | x)x_y{A_J) d’après CS3, donc à AJ.

CF8. Soient A une relation(resp. un terme) d'une théorie éF, x une lettre etT un terme de -F. Alors (T \ x)A est une relation (resp. un terme) de F.

SoitAj, A₂,..., A_nune construction formative où figure A. Soient x_1}x₂,.. x_p leslettres distinctes qui figurent dans T. Associons à chaque lettre x, une lettre x[ distinctede , x_p  et des lettres figurant dans A_u ..., A_n, de façon que les

lettres x[,. .x’_p soient deux à deux distinctes. L’assemblage

(x-j | x)) (*2 | *2) • • • (*p | *p) Test une terme T' d’après CF7, et (T | x)A est identique à

(*1 I *l)(*2I *2)- • ■ (*p| ^xp){T ] *)^ par application de CS1. Il suffit donc de montrer que ( T' | x)A est unerelation (resp. un terme) : autrement dit, on peut supposer désormais que leslettres qui figurent dans T nefigurent pas dans A_1}..., A_n.

Montrons alors de proche en proche que, si A_{ est une relation (resp. un terme), (T | x)A_u que nous désignerons par Aj, est une relation (resp. un terme).Supposons ce point établi pour A^, A₂, . . A_i_₁ et établissons-le pour A_{. Si A_f est une lettre, A-est, soit cette lettre, soit T, donc un terme. Si A_{ est de la forme iAj, Aj étant une relation qui précède A_i dans la construction, A' est identique à lA]d’après CS5, et on sait déjà que A) est une relation, donc Aj est une relation d’après CF2. On procède de façon analogue si Aj estde la forme V A_;A_fc, ou sA_;j. . . A_Jm. Si enfin Aj est de la forme t₂(A_;),où A_s est une relation qui précède A₍ dans la construction,plusieurs cas peuvent se présenter:

a)  z est distinct de x etdes lettres figurant dans T ;alors AJ est identique à t_z(Aj) d’après CS4, et on sait déjà que Aj est une relation; donc Aj est unterme d’après CF3;

b)  z est identique à *: alors A_i ne contient pas *, donc Aj est identique à A₍, et est parsuite un terme;

c)  z ligure dans T ;alors z ne figure pas dans A_J} de sorte que Aj estidentique à x Aj, donc Ajà xAj; or, on sait déjà que Aj est unerelation, et xAj est identique à x„(Aj), u étant une lettre qui ne figure pas dans Aj; il en résulte que Aj estun terme d’après CF3.

Intuitivement,si A est une relation de 5~, que nous pouvons considérer comme exprimant une propriété de l’objetaffirmer (B | x)A revientà dire que l’objet B possède cette propriété. Si A est un terme de F, ilreprésente un objet qui dépend d’une certaine manière de l’objet désigné par leterme (B | x)Areprésente ce que devient l’objet A quand on prend pour x l’objet B.

§2. THÉORÈMES

Pour faciliter la lecture de ce qui suit, nous écrirons désormais, si Aest une relation, non(A) aulieu de t A. Si A et B sont des relations,nous écrirons « (A) ou (B)» au lieu de VAB, et (A) => (B) au lieu de =>AB. Parfois, nous supprimerons les parenthèses. Le lecteur pourradéterminer sans peine, dans chaque cas, de quel assemblage il s’agit.

1.   Axiomes

La donnée dessignes spécifiques définit, nous l’avons vu, les termes et les relations d’unethéorie 3T. Pourachever de construire F, onfait ce qui suit:

1° On écrit d’abord un certain nombre de relations de F; on dit que ce sont les axiomesexplicites de F ; les lettres qui figurent dans les axiomes explicites sont appeléesles constantes de F.

2° On se donne une ou plusieurs règles,¹qu’on appelle les schémas de F, et qui doivent présenter les particularités suivantes: a) l’application d’une telle règle 3$

¹ Ces règles seront exprimées en utilisant,pour abréger, les symboles dont nous avons parlé (et notamment les lettresitaliques grasses) (I, p. 15); mais il serait facile de se passer complètementde l’emploi de ces symboles pour les formuler (voir I, p. 25, note ¹).

fournit une relation de F\ b) si T est unterme de F, x unelettre, R unerelation de F construitepar application du schéma 3t, la relation (T \ x)R peut encore se construire par application de -F.

Dans tousles cas que nous envisagerons, la vérification de ces conditions sera toujoursfacile.

Toute relation, formée par application d’un schéma de F, est appelée axiome implicite de F.

Intuitivement,les axiomes représentent, soit des assertions évidentes, soit des hypothèsesdont on s’apprête à tirer des conséquences; les constantes représentent desobjets bien déterminés, pour lesquels les propriétés exprimées par les axiomesexplicites sont supposées vraies. Au contraire, si la lettre x n’est pas une constante, elle représente un objet complètementindéterminé; si une propriété de l’objet * est supposée vraie par un axiome,cet axiome est nécessairement implicite, de sorte que la propriété est encorevraie d’un objet T quelconque.

2.    Démonstrations

Un textedémonstratif d’une théorie F comporte:

1° Une construction formative auxiliaire de relations et de termes de F.

2° Une démonstration de F, c’est-à-dire une suite de relations de F figurant dans la construction formative auxiliaire, telles que, pourchaque relation R de la suite,l’une au moins des conditions suivantes soit vérifiée :

afiR est un axiome explicite de F ;

a₂)R résulte de l’application d’un schéma de F à des termes ou relations figurant dans la construction formativeauxiliaire;

b) il y a dans la suite deuxrelations S, T précédant R, telles que T soit S => R.

Un théorème de Fest une relation figurant dans me démonstration deF.

Cettenotion est donc essentiellement relative à l’état de la théorie considérée, aumoment où on la décrit: une relation d’une théorie F devient un théorème de F lorsqu’ona réussi à l’insérer dans une démonstration de F. Dire qu’une relation de F « n’est pas un théorème de F » ne peut avoir de sens en Mathématique si on ne précise pas le stade du développement de F auquel on se réfère.

Au lieu de « théorème de F », on dit aussi « relation vraie dans -F » (ou «proposition », « lemme », « corollaire », etc.). Soit R une relation de F, x unelettre, T un terme de F; si (T| x)R est un théorème de F, on dit que T vérifie dans F la relation R (ou est une solution de R),quand R est considérée comme rela­tion en x.

Dans lesmathématiques courantes, on omet le plus souvent de préciser que les relationsécrites constituent une démonstration.

Une relation est dite fausse dans F si sa négationest un théorème de -F. On ditqu’une théorie F est contradictoire quand on a écrit une relation qui est à la fois vraie et fausse dans F.

Iciencore, il s'agit bien entendu d’une notion relative à un stade déterminé dudéveloppement d’une théorie. On se gardera de la confusion (malheureusementsuggérée par le sens intuitif du mot « faux ») qui consisterait à croire que,lorsqu’on a prouvé qu’une relation R est fausse dans 5^r, on a par là même établi que R « n’est pas vraie » dans 2T (cette dernière phrase n’ayant à proprement parler aucun sens précis enMathématique, comme on l’a vu plus haut).

Nous donnerons dans ce qui suit des critèresmétamathématiques dits critères déductifs, qui permettent d’abréger les démonstrations. Ces critères serontdésignés par la lettre C suivie d’un numéro.

Cl(syllogisme). Soient A et B des relations d'une théorie -T. Si A et A -> B sontdes théorèmes de T, B est un théorème de

En effet, soit R₁,R₂,...,R_n une démonstration de F où figure A, et S_lyS₂, . . ., S„ une démonstration de éf où figure A => B. Il est évident que

est une démonstration de 3 où figurent A et

A => B. Donc

^1, ^2j • • -1Rju *$1> $2) • ■ •> S_p,B est une démonstration de -T, ce qui prouve que B est un théorème de 3T.

3.    Substitutions dans une théorie

Soient 3T une théorie, A_uA₂,. . A_n ses axiomes explicites, x une lettre, T un terme de 3~. Soit (T \ x).3~ la théorie dont les signes et les schémas sont les mêmes que ceux de , et dont les axiomes explicites sont (T | *)y4._ls (T | x)A₂,...,(T\x)A_n.

C2. Soient A un théorème d'unethéorie T un terme de 2T, x une lettre. Alors (T | x)A estun théorème de (T | x)é3~.

En effet, soit R_x, R₂,. . ., R_n une démonstration de ,T où figure A. Considé­ronsla suite (T [ x)R_1}(T | x)R₂,. . ., [T \ x)R_n, qui est une suite de relations de d’après CF8 (I, p. 20). On va voirque c’est une démonstration de (T\ x).T, ce qui établira le critère. Si R_k est un axiome implicite de -T, ( T | x)R_k est en­core un axiome implicite de J^r (I, p. 22), donc de(T j x),9~. Si R_k est un axiome explicite de 2T, (T | x)R_k est un axiome explicite de (T | x)éF. Enfin, se R_kest précédée des relations R_t et R_h R,étant => R_k, (T | x)R_k est précédée de (T | x)R_t et de (T | x)R_J} et cette dernière relation est identique à ( T | *) R_t=> ( T \ x) R_k (critère CS5).

C3. Soient A un théorème d'unethéorie AT, T un terme de AT, et x me lettre qui n'est pas une constante de ST.Alors ( T | x)A est un théorème de .

Cela résulte aussitôt de C2, puisque * ne figure pasdans les axiomes explicites de F.

Plus particulièrement, si é3~ ne comporte pas d’axiomes explicites, ou si les axiomesexplicites ne contiennent pas de lettres, le critère C3 s’applique sansrestriction sur la lettre x.

4.    Comparaison des théories

Une théorie F' est dite plus fortequ’une théorie F si tous lessignes de F sont dessignes de F', si tous lesaxiomes explicites de F sontdes théorèmes de F ', et si lesschémas de F sont desschémas de F '.

C4. Si une théorie F' est plus fortequ'une théorie F, tous les théorèmes de F sont des théorèmes de F'.

Soit R_x, R₂,..R_n une démonstration de F. On va voir de proche en proche que chaque R_t est un théorème de F', ce qui établira le critère. Supposons notre assertion établie pour lesrelations précédant R_k et établissons-la pour R_k. Si R_kest un axiome de F, c’est unthéorème de F' parhypothèse. Si R_kest précédée par des relations R_t et R_t=> R_k, on sait déjà que R_{ et i?, => R_k sont des théorèmes de F', donc R_kest un théorème de F' d’après Cl.

Si chacune des deux théories F et F' est plusforte que l’autre, on dit que F et F' sont équivalentes. Alors, tout théorème de F est un théorème de F' et vice- versa.

C5. Soient F une théorie, A_1} A₂,. . ., A_n ses axiomesexplicites, a_u a₂,. .., a_h ses constantes, T_x, T₂,. ■T_h des termes de F.Supposons que (Ti | ^ai){T₂| o₂) ■ ■ ■{T_h | a_h)A_t(pour i = 1,   2,...,n) soient des théorèmes  d’unethéorie F', que les signes de F soient

des signes de           F', et que les schémas de F  soient des schémas de F'. Alors, si A est     un

théorème de F, (T₁ | ûj). . . (T_h | a_h)A est un théorèmede F'.

En effet, F' est plusforte que la théorie (7\ | a_x). . . (T_h | a_h)F, et il suffit d’appliquer C2 et C4.

Quand on déduit, par ce procédé, un théorème de F' d’un théorème de F, ondit qu’on applique dans F' les résultats de F. Intuitivement, les axiomes de F expriment des propriétés de a_lt a₂, .... a_h, et A exprimeune propriété qui est une conséquence de ces axiomes. Si des objets T₁,T₂, . . T_h possèdent dans F' les propriétés exprimées par les axiomes de F, ils possèdent aussi la propriété A.

* Par exemple, dans la théoriedes groupes F, lesaxiomes explicites contiennent deux constantes G et p (le groupe et la loi decomposition). Dans la théorie des en­sembles F', on définit deux termes: la droite numérique et l’addition des nombresréels. Si on substitue ces termes respectivement à G et p dans les axiomesexplicites de F, onobtient des théorèmes de F'. D’autrepart, les schémas et les signes de         F

et F' sont lesmêmes. On peut donc « appliquer àl’addition des nombres réels               les

résultats de la théorie desgroupes ». On dit qu’on a construit pour la théorie des groupes un modèle dans la théorie des ensembles. (On observera que, la théorie desgroupes étant plus forte que la théorie des ensembles, on peut aussi appliquerà la théorie des groupes les résultats de la théorie des ensembles).*

Remarque. — Sous les hypothèses de C5, si la théorie F s’avérait contradictoire, il en serait de même de F'. En effet, si A et «non A » sont des théorèmes de F,(T, | ûj) ... (T_h| a_h)A,et non(T₁ | a,)...(T_h | a_h)A sont des théorèmes de F'.* Par exemple, si la théorie des groupes était contradictoire, la théorie desensembles le serait aussi. *

§3. THÉORIES LOGIQUES

1.     Les axiomes

On appelle théorielogique toute théorie F dans laquelle les schémas SI à S4 ci- dessous fournissent des axiomesimplicites.

51.    Si A est une relation de F,la relation (A ou A) => A est un axiome de F.¹

52.    Si A et B sont des relations de F,la relation A => ( A ou B) estun axiome de F.

53.   Si A et B sont des relations de F,la relation (A ou B) =>(B ou A) est un axiome de F.

54.    Si A, B et C sont des relations deF , la relation

(A => B) => ((C ou A) => (C ou B))

est un axiome de F.

Ces règles sont effectivement des schémas; vérifions-le par exemplepour S2. Soit R une relationobtenue par application de S2 : il y a donc des relations A,B de F telles que R soit larelation A => (Aou B); soient T un terme de F et x une lettre; soient A' et B' les relations(T | x)A et (T | x)B\ alors (T | x)R est iden­tiqueà A' => (A' ou B'), doncs’obtient par application de S2.

Intuitivement, les règles SI à S4 ne font qu’exprimer lesens qu’on attache aux mots « ou » et « implique » dans le langage mathématiqueusuel.²

Si une théorie logique F est contradictoire, toute relation de Fest un théorème de F. En effet, soit A une relation de F telleque A et « non A » soient des théorèmes de F, et soit B une relationquelconque de F. D’après S2,(non A) =>- ((non A) ou B) est unthéorème de F, donc, d’aprèsCl (I, p. 23) « (non A) ou B », c’est-à-dire A => B, est un théorème de F. Une nouvelle application de Cl montre que B est un théorème de F.

Dans toute la suite,,F désignera une théorie logique.

2.     Premières conséquences

C6. Soient A, B, C des relations de F. Si A ;■ B etB . C sontdes théorèmes de F, A => C est un théorème de F.

¹ L’expression de ce schéman’utilisant pas la lettre A nile symbole abréviateur est ia suivante: Lorsqu'on a unerelation, on obtient unthéorème en écrivant de gauche à droite V , ~i, v ,puis trois fois de suite la relation donnée. Le lecteur pourra s’exercer à traduire de même l’expression des autres schémas.

² Dans le langage courant, lemot « ou >> peut avoir deux sens distincts suivant le contexte: lorsqu’onrelie deux affirmations par le mot « ou », on peut vouloir affirmer, soit l’uneau moins des deux (et éventuellement toutes les deux à la fois), soit l’une àl’exclusion de l’autre.

En effet, (B => C) => ((A => B) => (A => C)) est unaxiome de F, d’après S4 oùon remplace A par B, B par C, et C par « non A ». D’après Cl(I, p. 23), (A => B) => (A => C) estun théorème de F. On conclutpar une nouvelle application de Cl.

C7. Si A et B sont des relations deF, B => {A ou B) est un théorème deF.

En effet, B => (B ou A), et (B ou A) (A ou B) sont desaxiomes de F

d’après S2 et S3. On conclut par application de C6.

C8. Si A est une relation de F, A=> A est un théorème de F.

En effet, A => (A ou A), et (A ou A) => A sont desaxiomes d’après S2 et SI. On conclut par application de C6.

C9. Si A est une relation,et B un théorème de F, A => B estun théorème de F.

En effet, B-> ((non A) ou B) est un théorème d’après C7,donc « (non A) ou B »,c’est-à-dire A => B, est unthéorème d’après Cl.

CIO. Si A est une relation de F, « A ou (nonA) » est un théorème de F.

En effet, « (non A) ou A » est un théorème d’après C8. On conclut parS3 et

Cl.

Cil. Si Aest une relation de F, « A => (non non A) » est un théorème de tdT.

En effet, cette relation n’est autre que « (non A) ou (non non A) » etle critère résulte de CIO.

Cl2.Soient A et B deux relations de éF.La relation

(A => B) => ((non B) => (nonA))

est un théorème de F.

En effet,

((non A) ou B) ((non A) ou(non non B)) est unthéorème d’après Cil, S4 et Cl. D’autre part,

((non A) ou (non non B))=> ((non non B) ou (non A)) est un axiome d’après S3. Donc

((non A) ou B) => ((non nonB) ou (non A)) est un théorème d’après C6. Or, c’est la relation à établir.

C13. Soient A, B, C des relations deF. Si A => B est un théorème de F,

(B => C) => (A => C)

est un théorème de F.

En effet, (non B) => (non A) est un théorème d’après C12 et Cl. Donc(C ou (non B)) => (C ou (non A)) estun théorème d’après S4 et Cl. Par double application de S3 et de C6, on enconclut que ((non B) ou C) => ((non A) ou C) est un théorème. Or, ceci estla relation à démontrer.

Désormais, nous emploieronsle plus souvent les règles Cl et C6 sansnous y référer explicitement.

3.    Méthodes de démonstration

I.    Méthode de l’hypothèse auxiliaire.— Elle repose sur la règle suivante:

C14(critère de la déduction). Soient Aune relation deT. et la théorie obtenue en adjoignantAaux axiomes de T. Si B est un théorème de -T',A-> B est un théorème de T.

Soit B_1: B₂,. .B_nune démonstration de 3~' dans laquelle figure B. Nous allons montrer de proche en proche que les relations A=> B_k sont des théorèmes de ,T. Supposons ceci établi pour les relations qui précèdent B_het prouvons que A => Bj est un théorème de . Si B_; est un axiome de •3^r', B_test, soit un axiome de -T, soit A. Dans les deuxcas, A -> B_iest un théorème de 3~, par application de C9 ou de C8. Si B_{est précédée des relations B_set B_f => B_t, on sait que A => Bj et A => (Bj=> Bj) sontdes théorèmes de -T. Alors (Bj=> Bj) =>(A => Bj) est un théorème de ST d’après Cl3. Donc, d’après C6, A => (A => Bj), c’est-à-dire« (non A) ou (A => Bj)» est un théorème de ,T, et par suite aussi

« (A => Bj ou (non A)) » d’après S3. Or, (non A) => ((non A) ou Bj),c’est-à-dire (non A) => (A => Bj)est un théorème de éT d’après S2. Par application de S4, on voit que

((A =>- Bj) ou (non A)) => ((A Bj) ou (A Bj)) est unthéorème de -T, donc que « (A =>Bj) ou (A Bj » est un théorème de ST.Par SI, on conclut que A => B_f est un théorème de -T.

Enpratique, on indique qu’on va employer ce critère par une phrase du genresuivant: « Supposons que A soitvraie ». Cette phrase signifie qu’on va raisonner pour un moment dans lathéorie 3~'. On reste dans 3~' jusqu’à ce que l’on y ait démontré la relation B. Ceci fait, il estétabli que A > B estun théorème de 2T, et oncontinue (s’il y a lieu) à raisonner dans 5~ sans indiquer en général qu’on abandonne 3'¹. La relation A que l’on aintroduite comme nouvelaxiome s’appelle Yhypothèse auxiliaire. * Par exemple, quand on dit:« Soit x un nombre réel », on construit unethéorie dans laquelle la relation « x est un nombre réel » est une hypothèse auxiliaire.*

IL Méthode deréduction à l’absurde.— Elle repose sur la règle suivante:

Cl5.Soient A me relation de 3T, et ST' la théorie obtenue en adjoignant l’axiome «non A » aux axiomes de édT. Si é?~' est contradictoire,Aest un théorème de ST.

En effet, A est un théorème de -ST'. Par suite (méthode de l’hypothèse auxiliaire), (non A) => A est unthéorème de S7~. D’aprèsS4,

(A ou (non A)) => (A ou A) est un théorème de SF. D’après CIO, « A ou A » est un théorème de 3T. On conclut par application de SI.

Enpratique, on indique qu’on va employer ce critère par une phrase du genre suivant: « Supposons que A soit fausse ». Cette phrase signifie qu’on va raisonner pour un momentdans !T'. On reste dans 3T' jusqu’à ce que l’on ait établi deux théorèmes de la forme B et « non B ». Cecifait, il est établi que A estun théorème de F, ce qu’onindique en général par une phrase du genre suivant: « Or ceci (à savoir, dansles notations précédentes, B et « non B ») estabsurde; donc A est vrai». On revient alors à la théorie F dont on s’occupait précédemment.

Comme premières applications de ces méthodes, démontronsles critères suivants :

C16.Si A est me relation de .F,(non nonA) =>Aest un théorème deéF.

En effet, supposons « non non A » vraie; il faut prouverA. Supposons A fausse. Dans la théorie ainsi fondée, « non non A » et « non A » sont desthéorèmes. Ceci est absurde; donc A est vraie.

Cl 7. Si A et B sontdes relations de F,

((non B) => (non A)) => [A => B)

est un théorème de F.

En effet, supposons (non B) -> (non A) vraie. Ilfaut prouver que A -> B est vraie. Or, supposons A vraie et prouvons que B est vraie. Supposons « non B » vraie. Alors, « non A » est vraie, ce qui est absurde.

III.     Méthode de disjonction des cas. — Elle repose sur la règle suivante:

Cl8.Soient A, B, C des relations de F. Si «AouB »,A=> C,BC sontdes théorèmes de F, alors C est un théorème de F.

En effet, d’après S4, (A ou B) => {A ou C), et(C ou A) (C ou C) sont des théorèmes de F. Compte tenu de S3 et SI, {A ou B) => Cest un théorème de F \ d’où la règle.

Pourdémontrer C, il suffit donc, quand on dispose d’un théorème « A ou B », dedémontrer C en adjoignant A auxaxiomes de F, puis dedémontrer C en adjoignant B auxaxiomes de F. L’intérêtde cette méthode provient du fait que, si « A ou B » estvraie, rien ne permet en général d’affirmer que l’une des relations A,B soit vraie.

En particulier, d’après CIO, si A C,et (non A) => C, sont toutes deux des théorèmes de F, C est un théorème de F.

IV.     Méthode de la constanteauxiliaire. — Elle repose sur la règle suivante:

C19.Soient x une lettre, A etBdes relations de F telles que:

1° La lettre X n’est pas une constante de F et ne figure pas dansB.

2°On connaît un terme T de F tel que ( T| x) A soitun théorème de F.

Soit F' la théorie obtenue en adjoignant A aux axiomes de F. Si B est un théorème de F', Best un théorème de F.

En effet, A => B est unthéorème de éF (critèrede la déduction). Puisque x n’estpas une constante de éF, (T | x)(A=> B) est un théorème de éF d’après C3. Comme x ne figure pas dans B, (T | x)(A B) estidentique, d’après CS5 (I, p. 17), à ((T | x)A) => B. Enfin, (T | x)A est unthéorème de éF, doncaussi B.

Intuitivement, la méthode consiste à utiliser, pourdémontrer B, un objetarbi­traire x (la constanteauxiliaire) qu’on suppose doué de certainespropriétés qui sont

exprimées par A. * Par exemple, dans une démonstration de géométrie où il s’agit, entreautres choses, d’une droite D, on peut « prendre » un point x sur cette droite; la relation A est alors x e D.* Pour qu’on puisse se servir, au cours d’unedémonstra­tion, d’un objet doué de certaines propriétés, il faut évidemmentqu’il existe de tels objets. Le théorème (T | x)A, dit théorème de légitimation, garantit cette existence.

Enpratique, on indique qu’on va utiliser cette méthode par une phrase du genresuivant : « Soit x un objettel que A ». Contrairement à ce qui se passedans la méthode de l’hypothèse auxiliaire, la conclusion du raisonnement neconcerne pas x.

4.      La conjonction

Soient A, B des assemblages. L’assemblage

non ((non A) ou (non B))

sera désigné par« A et B ».

CS6. Soient A, B, T des assemblages, x une lettre.L’assemblage (T| *)(A et B) est identique à «(T |x)A et (T \ x)B ».

Ceci résulte aussitôt deCS5 (I, p. 17).

CF9. Si A, B sont des relations de ,« A et B » est une relation de ST(appelée conjonction de A etde B).

Ceci résulte aussitôt de CF1et CF2 (I, p. 19).

C20. Si A, B sont des théorèmes de ,T, « A et B » est un théorème de cf.

Supposons « A et B » fausse,c’est-à-dire

non non ((non A) ou (non B))

vraie.D’après Cl6, « (non A) ou (non B) », c’est-à-dire A => (non B), est vraie,donc « non B » est vraie. Or, ceci est absurde. Donc « A et B » est vraie.

C21. Si A, B sont des relations de é?~,(A et B) => A, (A et B) => B sont desthéorèmes de Sf.

En effet, les relations

(non A) => ((non A) ou (non B)),

(non B) => ((non A) ou (non B))

sont desthéorèmes de d’après S2 et C7. Or

((non A) ou (non B)) => non (A et B)

est un théorèmede d’après Cil. Donc

(non A) => non(A et B),

(non B) => non(A et B)

sontdes théorèmes de 3T. On conclutpar application de Cl 7.

On convient de désigner par « A et B et C» (resp. « A ou B ou C ») la relation « A et (B et C) » (resp. « A ou (B ou C) »). Plusgénéralement, si on a des relations A_u A₂,..., A_h, on désigne par « A_x et A_z et.. . et A_h » une relation qui se construit de proche en proche par la conventionque « A_x et A₂ et.. . et A.désigne la même relation que « A_l et M₂ et... et A_h) ». On définit de même « A₁ ou A₂ ou . .. ou A_h ». La relation « A₁ et A₂ et ... et A_h » est un théorème de si et seulement si chacune des relations A_1}A₂,.. A_h est un théorème de 3.

Il enrésulte que toute théorie logique 3 est équivalente à une théorie logique 3 possédant au plus un axiome explicite. C’est évident si 3 ne possède aucun axiome explicite. Si 3 possède les axiomes explicites A_lt A₂, . . ., A_n, soit 3' lathéorie qui admet les mêmes signes et les mêmes schémas que 3, et l’axiome explicite « Ai et A₂ et... et A_h». On voit aussitôt que tout axiome de 3 (resp. 3') est unthéorème de 3' (resp. 3).

Soit 3₀ la théorie sans axiome explicite qui admet les mêmes signes que 3 et les seuls schémas SI, S2, S3, S4. L’étude de 3 se ramène, en principe, à l’étude de 3_Q\pour que la relation A soit un théorème de 3, il faut et il suffit qu’il y ait des axiomes A_ltA₂, . . ., A_h de 3 tels que (A_y et A₂ et ... et A_h) => A soit unthéorème de 3₀. En effet, la condition est évidemment suffisante. Supposons d’autrepart que A soit un théorème de 3, et soient A_u A₂, . . ., A_h les axiomes de 3 quifigurent dans une démonstration de 3 contenant A. Soit 3’ (resp. 3") lathéorie déduite de 3_a par adjonction des axiomes A_lt A₂,. . A_h (resp. de l’axiome « Ai et A₂ et ... et A_h »). La démonstration de A dans 3~ est unedémonstration de A dans ST’, donc A est unthéorème de 3~' et parsuite de ST”, puisqu’on a vu ci-dessus que 3~' et 3" sontéquivalentes. D’après le critère de la déduction,

{Ai et A₂ et... et A_h)=> A

estun théorème de 3₀.

Si 3 est contradictoire, il existe d’après ce qui précède une conjonction Ad’axiomes de 3 et une relation R de 3 telles que A => (R et (non R)) soit unthéorème de 3_Ü. Donc

((non R) ou (nonnon R)) => (non A)

est un théorème de 3₀, et comme « (non R) ou(non non R) » est un théorème de 3₀,« non A » est un théorème de 3_U. Réciproquement, s’il existe une conjonction A d’axiomes de 3 telle que« non A » soit un théorème de 3₀,A et « non A » sont des théorèmes de 3, de sorte que 3 estcontradictoire.

5.    L’équivalence

SoientA et B des assemblages. L’assemblage

(A => B) et (B => A)

seradésigné par A o B.

CS7. Soient A, B, T des assemblages, x une lettre. L’assemblage ( T | x) {A <=> B)est identique à [T ] x)A o (T | x)B.

Ceci résulte aussitôt de CS5(I, p. 17) et CS6 (I, p. 29).

CF10. Si A et B sont des relations de 3T, A o B est une relation de !T.

Ceci résulte aussitôt de CF5 (I, p. 19) et CF9 (I, p.29).

Si A o B est unthéorème de F, nous dironsque A et B sont équivalentesdans F ; si x est une lettre qui n’est pas une constante de F, et si A et B sont considérées comme relations en tout terme de F qui vérifie l’une vérifie aussi l’autre.

Il résulte des critères C20 et C21 que, pour démontrerdans F un théorème de la forme A o B, il faut et ilsuffit qu’on puisse démontrer A => B et B=> A dans F. Cela se fait souvent en démontrant B dans la théorie déduite de F par adjonction de l’axiome A, puis en démontrant A dans la théorie déduite de F par adjonction de l’axiome B. Ces remarques permettent d’établir aussitôt les critères suivants,dont nous laissons la démonstration au lecteur.

C22. Soient A, B, C des relations de F. Si A o B est un théorème de F, B o Aest un théorème de .F. Si A o B et B o C sont des théorèmes de F, A o C est unthéorème de F.

C23. Soient A et B des relations équivalentes dans F, et C une relation deF. Alors, on a dans F les théorèmes suivants:

(non A) o (non B) ; (A =>C) o {B => C); (C => A) o (C => B) ;

(A et C) o (B et C) ; (A ou C) o (B ou C).

C24. Soient A, B, C des relations deF-, on a dans F les théorèmes suivants:

(non non A) o A; (A =>B) o ((non B) => (non 4)) ;

(A et A) o A;(A et B) o (B et A) ;

(A et (B et C)) o [[A et B) et C) ;

(A ou B)o non ((non A) et (non B)) ;

[A ou A)o A; (A ou B) o (B ou A)\

(A ou (B ou C)) o ((A ou B) ou C) ;

{A et (B ou C))o ((A et B) ou (A et C)) ;

(A ou (B et C))   ((A ou B) et (A ou C)) ;

{A et (non B)) o non (A => B) ; [A ou B) o ((non A) => B).

C25. Si A est un théorème de F et B une relation de F, (A et B) o B est unthéorème de F. Si « non A» est un théorème de F, {A ou B) o B est unthéorème de F.

En principe, dans tout lereste de ce Traité, les critères Cl à C25 serontdésormais utilisés sans référence.

§4. THÉORIESQUANTIFIÉES

1.     Définition des quantificateurs

Dans le § 3, lesseuls signes logiques qui aient joué un rôle sont i et V ; les règles qui vontêtre énoncées concernent essentiellement l’emploi des signes logiques tet

Si R est un assemblage, et x une lettre, l’assemblage (t_x(R) | x)R se désigne par « il existe un x tel que R », ou par (3x)R. L’assemblage non((3*)(non R)) se désigne par « pour tout x,R », ou par « quel que soit *, R », ou par (dx)R. Les symboles abréviateurs 3 etV s’appellent respectivement quantificateurexistentiel et quantificateuruniversel. La lettre x ne figure pas dansl’assemblage désigné par t_X(R) ; elle nefigure donc pas dans les assem

---

^[1] Le sens de cette expression se précisera progressivement au cours dece chapitre.

^a Pour la signification intuitive de ces signes, voir I, p. 18, Remarque,

^[3] Conformément à ce qui a été signalé (I, p. 15), la phrase « .V et ysont des lettres distinctes » est un abus de langage pour dire que * et ydésignent des lettres distinctes dans lesassemblages que l’on considère.

..

译者序  致读者   引言　目录　CH1 数学结构的描写　 CH2 集合论　符号索引   术语索引   公理索引