Python解决最短路径问题—Dijkstra算法+堆优化

宇智波一打七今天学习了一个新算法， 迫不及待和大家分享一下 。

最短路问题介绍

在一个赋权图中，从一个顶点出发到达另外一个顶点的路的权和最小的路径，称为最短路径。Dijkstra算法是解决这一问题的经典算法，接下来我们介绍如何用python实现这一算法。

Dijkstra算法介绍

Dijkstra算法由Dijkstra在1959年发现，这个算法不仅找到了最短的 $(u_0,v_0)$ 路，而且给出了从 $u_0$ 到其他所有顶点的最短路。

算法思想

假设 $S$ 是 $V$ 的真子集且有 $u_0\in S$，记 $\overline{S}$ 为 $V-S$。若 $path=u_0\cdots \overline{uv}$，这里 $\overline{u}\in S$ 则 $(u_0,\overline{u})$ 一定是最短路。所以

$d(u_0,\overline{v})=d(u_0,\overline{u})+w(\overline{uv})$

故 $u_0$ 到 $\overline{S}$ 距离为：

$d(u_0,\overline{S})=\min \{d(u_0,u)+w(uv)\}$

这里 $u\in S,v\in \overline{S}$。那么我们可以思考，我们可以从集合 $\{u_0\}$ 开始构造一个递增序列 $S_1,S_2,\cdots ,S_{v-1}$，这样我们便可以得到由 $u_0$ 到 $S_i$ 的所有顶点的最短路。

Dijkstra算法步骤

1. 令$S_0=\{u_0\},dis(u_0)=0$，对 $v\ne u_0,dis(v)=\infty$ 且 $i=0$.
2. 对每个 $v\in \overline{S_i}$，令 $dis(v)=\min \{dis(v),dis(u_i)+dis(u_{i}v)\}$，最小的 $v$ 记为 $u_{i+1}$，更新 $S_{i+1}=S_i\cup \{u_{i+1}\}$.
3. 若 $i=|V|-1$ ，停止。若 $i<|V|-1$ ，则 $i=i+1$，返回第 $2$步。

代码

优美的代码来了

import heapq
class graph:
    def __init__(self,num,ma):
        self.edge={}
        self.dic=[ma]*(num+1)
    def add(self,u,v,w):
        if u in self.edge:
            self.edge[u].append((v,w))
        else:
            self.edge[u]=[(v,w)]
    def dijkstra(self,start):
        dis=self.dic
        dis[start]=0
        heap=[]
        visit=[0 for i in range(len(dis))]
        for i in self.edge[start]:
            dis[i[0]]=i[1]
            heapq.heappush(heap,(i[1],i[0]))# i[1]为该边权值，i[0]为该点，从start点到其余点的边入堆
        while heap!=[]:
            vic=heapq.heappop(heap)# 弹出最小边
            if visit[vic[1]]==1:# 如果该点已经弹出过，则不再松弛
                continue
            visit[vic[1]] = 1# 记录弹出点
            if vic[1] not in self.edge:# 防止有向图中出度为0的点
                continue
            for i in self.edge[vic[1]]:
                if dis[i[0]]>dis[vic[1]]+i[1]:# 判断是否松弛
                    dis[i[0]]=dis[vic[1]]+i[1]# 松弛边
                    heapq.heappush(heap,(i[1],i[0]))# 松弛过边则把新边权值入堆
        self.dic=dis
    def printf(self):
        print(self.dic[1:])
if __name__ == "__main__":
    n,m=6,8
    nums = [[1,3,10],[1,5,30],[1,6,100],[2,3,5],[3,4,50],[4,6,10],[5,6,60],[5,4,20]]
    g=graph(n,1000000000000)
    for i in nums:
        g.add(i[0],i[1],i[2])
    g.dijkstra(1)
    g.printf()

我们在算法第二步求最小的点 $u_{i+1}$时可用堆做优化。在python中有模块heapq，这里我们直接使用该模块的最小堆即可。
注意：dijkstra算法不能求解有负权边地图（思考一下为什么？）。