泰勒级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换简单梳理

只是简单梳理下上述变换的概念以及关系，具体细节请自行查阅其它资料

1、 泰勒级数

用无限项连加式（级数）表示一个函数，单纯的数学工具
f(x)在点x0的泰勒级数：

X0=0时级数称为麦克劳林级数

2、傅里叶系列

2.1连续周期信号的傅里叶级数 (FS) 时域连续，频域离散

参考：https://blog.csdn.net/reborn_lee/article/details/80721300

任何周期函数或周期信号可以分解成一个（可能由无穷个元素组成的）简单振荡函数的集合，即正弦函数和余弦函数（或者，等价地使用复指数）

狄里赫利条件：傅里叶级数的使用条件
（1） 函数连续，或只有有限个第一类间断点
（2） 在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值
（3） 函数在单个周期内绝对可积

由欧拉公式（复指数和正弦函数关系）：


可以得到下面

其中a0, a1, a2, …, 称之为傅里叶系数，信号x(t)的频谱系数，以及谐波的幅度；频谱系数表示各频率分量在总信号中所占的分量。
如下图，为信号的频谱图。（理解这里可以引出下面的傅里叶变换）

傅里叶级数公式 有两种形式(这里图的来源不同，f(x)相当于(1)中的x(t))
形式①：

形式②：

傅里叶级数到傅里叶变换
参考：https://www.zhihu.com/question/21665935
（啊啊啊csdn编辑好麻烦啊下面就全部粘我整理的word文档的截图了）

2.2 连续傅里叶变换（FT） 时域连续，频域连续

已有傅里叶系数a_k的表达式，
定义X(jω)为T*a_k的包络（a_k组成了信号的频谱），令ω=kω_0得到

2.3离散周期信号的傅里叶级数 (DFS)

已知连续时间周期信号的傅里叶级数为

2.4 离散时间傅里叶变换 (DTFT) 时域离散，频域以2pai为周期连续

参考：https://www.cnblogs.com/BitArt/archive/2012/11/24/2786390.html

DFT和FFT暂时没整理，以后再补

3、拉普拉斯变换

4、Z变换

注：后面这部分由于太懒全部是在我整理的word里截的图，影响观看请谅解
最后， 文章里如有不对的地方请大佬指正

结合这些变换的直观全局关系图食用更佳：
https://blog.csdn.net/qq_38574198/article/details/107685024