LFSR(斐波那契大战伽罗瓦)

LFSR(斐波那契大战伽罗瓦)

线性反馈移位寄存器(LFSR)：通常由移位寄存器和异或门逻辑组成。其主要应用在：伪随机数，伪噪声序列，计数器，BIST，数据的加密和CRC校验等。

Part.1

线性反馈移位寄存器(LFSR)主要包括两大类：斐波那契(外部LFSR),又称many-to-one；伽罗瓦(内部LFSR),又称one-to-many。
如下图(模2的多项式：x⁸+x⁶+x⁴+1)：

Part.2

抽头(tap)：影响线性反馈寄存器下一个状态的比特位叫做抽头，抽头的设定会决定线性反馈寄存器最大的输出序列长度，抽头通常用有限域算数中模2的多项式来表示（例如模2的多项式为：x⁸+x⁶+x⁴+1）。
通常N bits的线性反馈寄存器能产生最长的不重复序列为2^N-1。因为当所有寄存器的输出为全零状态时，线性反馈寄存器陷入死循环，故Nbit的线性反馈寄存器的输出状态有2^N-1。
抽头的位置会影响LSFR的最大输出状态的个数,例如：3bit的抽头为【3,2】会产生7个状态（多项式对应为：x³+x²+1)，若抽头为【3,1】会产生2个状态（多项式对应为：x³+x+1)。
当N bits下，抽头的设定产生的最大输出序列长度为2^N-1时，此时对应的模2多项式为本原多项式，能达到最长序列的多项式不是唯一的。下表为不同的bits下，抽头的设定（对应不同的本原多项式）和最大的输出状态个数关系表。

Part.3

上面提到N bits的LFSR能产生最大输出状态的个数为2^N-1，N越大，随机性就越大。如果输出状态包括全零的状态，最大输出状态的个数可达到2^N，那么通过对LFSR做如下图的修改，即如果检测到Q[7]-Q[0]输出状态为全零时，经过~|Q[6:0]^Q[7]逻辑运算后输出的结果为1，进而保证线性反馈寄存器不会陷入死循环中，此处的死循环意思是指输出状态总保持全0或者全1，LFSR本身是可以无限循环的。需要说明的是，最后一位必须参与反馈。与此同时，对于斐波那契线性反馈移位寄存器，若采用异或反馈，全0为非法状态，若采用同或反馈，全1为非法状态，不管是斐波那契还是伽罗瓦TFSR，为避免非法，种子可选取全1或全0之外的组合。

Part.4

在实际的应用中，例如crc的校验，会用到模2的多项式的运算，遵循如下的计算原则：

Part.5

其主要应用在：伪随机数，伪噪声序列，计数器，BIST，数据的加密和CRC校验等。
伪随机数：前面已经提到，LFSR最多可产生2^N-1个序列，这些序列之间看似是随机产生的，之所以称之为伪随机，是因为这些数是通过具体的关系式产生，而非像random()这样产生真正的随机数，且最终会实现循环。

伪噪声序列用于扰码和解码：

1. 什么是加扰（scrambler)?
   所谓加扰是将源数据流与一个随机序列异或后，再发送出去，异或操作完成后的数据流基本是伪随机的。
   Scranbker的主要作用就是通过“加扰”的方法消减EMI(电磁干扰)噪声，所谓加扰是将源数据流与一个随机序列异或后，再发送出去。此时被发出的数据流也基本是伪随机的，从而降低了发送数据时产生的EMI噪声。
2. 异或使用的随机序列是如何产生的？
   以PCIE 为例，PCIE总线通过一个16位线性反馈移位寄存器(Linear Feedback Shift register, LFSR),产生为随机序列，该移位寄存器的表达式如下所示：
   G(x)=X¹⁶+X⁵+X⁴+X³+1
   该公式是一个本原多项式（具有最大周期的不可以约多项式），使用该公式可以产生一个周期为216-1的伪随机序列。对应的，由本预案多项式作为生成多项式所产生的LFST序列为最大周期序列。这些序列一般被称为m-序列，在m-序列中“0”和“1”所占的比例相对均衡，但是1的个数比0的个数多1，因为全0不能作为初始值，，也不可能是中间状态。
   源数据流与这个伪随机序列中的字符流进行异或操作，从而称为一个相对较为随机的字符流，从而降低了数据流的EMI噪声。
3. 什么是解扰（de-scrambler)?
   PCIE数据发送端有加扰，数据接收端也有解扰操作，解扰与加扰使用相同的公式，必须完全同步，即LFSR使用相同的初始值。在PCIE链路的两端，该初始值为0xFFFF。PCIE链路两端设计每次加解扰一个8b数据后，LFSR进行8次移位操作。

LFSR计数器：
优点：传统的二进制计数器用复杂的或大扇入逻辑产生进位信号，LFSR以牺牲二进制计数序列为代价，用相当简单的结构与逻辑实现很高的速度(逻辑资源少，速度高)，这种移位寄存器又称为伪随机序列发生器；LFSR计数器的计数序列就是伪随机序列，
缺点：LFSR的缺点是本原形式必须初始化为有效状态，计数序列不是通常的递增或递减，这样就不易预测，而且某些场合二进制计数器更加适用。

数据加密的原理跟扰码器和解扰器一样，没懂请看上文分解。
检错与纠错看我的另外一篇博文<检错码与纠错码，一码归一码>里。

哈姆雷特，请保持前行！