任意模数二项卷积

二项卷积：

$$c_n=\sum _k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a_k{b}_{n-k}$$

当模数 $M$ 有一质因子 $p\le n$ 时，计算二项卷积无法直接变为 EGF 进行计算，因为 $n!$ 此时不可逆。

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我们考虑首先如何解决 $M=p^k$ 时的情况，然后可以用 CRT 合并各情况。

我们记 $v_p(n)$ 是 $n!$ 中 $p$ 的质因子次数，$p$-阶乘为 $n{!}_p=p^{v_p(n)}$，反 $p$-阶乘为 $\overline{n{!}_p}=\frac{n!}{n{!}_p}$。

那么由定义显然 $\overline{n{!}_p}$ 还是同余 $M$ 可逆的。我们先令 $a_n=a_n\cdot {\left(\overline{n{!}_p}\right)}^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$，我们可以得到

$$c_n\equiv \sum _k\left(\frac{n{!}_p}{k{!}_p(n-k){!}_p}\right)a_k{b}_{n-k}\equiv \sum _k{p}^{v_p(n)-v_p(k)-v_p(n-k)}{a}_k{b}_{n-k}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M)$$

而 $d=v_p(n)-v_p(k)-v_p(n-k)$ 可以推出就是在 $p$ 进制下，$n$ 减去 $k$ 时所发生的退位次数。（这个被叫做 Kummer 定理，过程略）

而 $n$ 在 $p$ 进制下最多只有 ${\log }_{p}n$ 位可退，因此我们知道 $p^d\le n$，因此我们在不取模的情况下，可以得到 $c_n\le n\cdot n{M}^2=n^2{M}^2$。

虽然 $p$ 在模 $M$ 下不可逆，但是当 $p\le n$，自然满足在我们选取的 NTT 模数下都可逆！因此，这一涉及除法的卷积式子，因为已经保证了结果是值域在 $n^2{M}^2$ 内的整数，所以我们只需选取 NTT 模数进行卷积，之后用 CRT 合并即可。取 $n\le 10^6,M\le 10^9$ 的一般情况下，可得 $c_n\le 10^{30}$，使用四个 NTT 模数进行合并足够。

因此对于每个 $M=p^k$ 的情况，我们都可以通过“四模数 NTT”进行计算，那么对于一般的 $M$ 进行 CRT，算法的复杂度为 $\Theta (n\log n\cdot \omega (M))$，或者也可以解释为，结果值域是 $n^{1+\omega (M)}{M}^2$ 的卷积。

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该提交记录 是一个不算精细的实现。在 $\omega (M)$ 取到最大时大概效率是 loj 的 1s 上下波动（其实这个时候每次 CRT 不用四模数了，如果考虑这一点还能更快）。暂时没想到在“四模数 NTT”的时候避免 int128 的方法。

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特殊情况：

• $p$ 很小的时候可以类比子集卷积，加一个占位多项式来帮助计算，但是这个做法的复杂度看起来会带 $p$ 和 ${\log }_{p}n$，在 $p$ 大的时候尚未想到能从此想法得到什么优秀的做法。之前思考这个问题的时候也在这里困惑了很久。