【专题】莫比乌斯反演

问题引入：

给定整数 N 和 M。求满足  且  为质数的点对  的个数。

数据范围：

 

接下来会见到以下内容：

• 莫比乌斯函数
• 莫比乌斯函数的线性筛
• 迪利克雷卷积介绍
• 莫比乌斯反演
• 整除分块
• 杜教筛介绍

 

莫比乌斯函数：

这里 else 是指：n有大于1的平方因子的情况，如，4、9、16等。

 

莫比乌斯函数的线性筛：

其实，莫比乌斯函数线性筛与普通的线性筛基本相同，只是多了一个 mu[MAXN] 数组罢了。

int prime[MAXN], prime_tot;//prime[MAXN]用于保存质数，prime_tot是质数的个数; 
bool prime_tag[MAXN];//标记是否为质数，false表示是质数，true表示合数; 
int mu[MAXN];//保存n的莫比乌斯函数值; 
void pre_calc(int lim){
	mu[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= lim; ++i) {
		if(!prime_tag[i]) {
			prime[++prime_tot] = i;
			mu[i] = -1;
			//质数的莫比乌斯函数值必为-1; 
		}
		for (int j = 1; j <= prime_tot; ++j) {
			if(i * prime[j] > lim)break;
			prime_tag[i * prime[j] ] = true;
			//质数的倍数必是合数 
			if(i % prime[j] == 0) {
				//如果 i能被质数整除 说明 i中必有同一个质数因子
				//那么 i*prime[j] 就必有平方因子 
				mu[i * prime[j] ] = 0;
				break;
			}
			else {
				mu[i * prime[j] ] = -mu[i];
			}
		}
	} 
} 

 

狄利克雷卷积介绍：

狄利克雷卷积是函数之间的运算。

狄利克雷卷积：。

积性函数：对于任意互质的整数 a和b 有性质 的函数。

完全积性函数：对于任意整数 a和b 有性质 的函数。

 

证明：

设 n 不同的因子的个数为 k，则有

由二项式定理展开，得

令 x = -1，y = 1，代入得

即

 

下面是一些常见的积性函数：

①欧拉函数 

欧拉函数是求  的质数的个数。

 

②莫比乌斯函数 

本节所讲函数。

 

③单位函数 

n 是多少就是多少。

 

④不变函数 

恒等于 1。

 

⑤幂函数 

易知，。

 

⑥因子个数函数 （注意，这里是指不变函数相乘）

 

⑦因子和函数 

 

⑧因子函数 

 

⑨狄利克雷卷积单位元 

 

其中，①②⑨是比较重要的函数。

（注意：这里的  是指做卷积）

 

莫比乌斯反演：

公式一：

 

公式二：

（数论千万条，反演第一条。反演不会做，队友两行泪。）

两条公式的差别：一条是印数关系，一条是倍数关系。

 

公式一证明：

 

是不是特别简单？

可是，为什么  会消去？

答案是，不变函数是莫比乌斯函数的乘法逆元。

还不知道什么是乘法逆元的，可以先去学习一下。

 

公式二证明：

令 ，则

 

想一想，为什么第三条式子可以变为第四条式子呢？

因为，当且仅当 (nk|t) 成立的时候，才会对求和有贡献。

 

那么，第四条式子又是怎么去到第五条式子的呢？

仔细看看， 是不是成立？那么，也就出来了。

 

最后，根据狄利克雷卷积单位元的性质，当且仅当 t = n ，即  时才会有贡献，证毕。

 

回归问题：

 

 

求 ，p是质数。

 

定义，

 

那么， 且有 .。

 

下面开始反演：

 

到这里，复杂度已经降下来一些了，那么怎么解决左边的这一块呢？

 

我们预处理一个 。

for (int i = 1; i <= prime_tot; ++i) {
	for (int j = 1; prime[i] * j <= lim; ++j) {
		sum[prime[i] * j] += mu[j];
	}
} 

 

最终， 。

 

整除分块：

 约有  个可能值。

如，N = 25，k = 1，2，3，4，5，6，7-8，9-12，13-25时， 共有 9 个互不相同的值。

快速计算的方法：

for (int l = 1, r; i <= N; l = r + 1) {
	r = N / (N / l);
	ans += (r - l + 1) * (N / l);
} 

 

杜教筛：

有些题目要用到前缀和，但是数据范围会很大，这是要用到杜教筛。

例如，求 

 

定义：

int mu_sum[MAXN];
unordered_map mp;
int mu_calc (long long n) {
	if (n < lim) return mu_sum[n];
	if (mp.count(n)) return mp[n];
	
	int ret = 1;
	for (long long l = 2, r; l <= n; l = r +1) {
		r = n / (n / l);
		ret -= (r - l + 1) * mu_calc(n / l);
	}
	return mp[n] = ret;
} 

当然，杜教筛还可以应用到更多地方。

 

本文章学习来自：

【算法讲堂】【电子科技大学】【ACM】莫比乌斯反演

 

题目练习：

待补充。。