欧几里德算法

老师给的课件（虽然并不能确定是谁写的）

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概念：

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数 $a,b$ 的最大公约数。

基本算法：

设 $a=kb+r$，其中 $a,b,k,r$ 都是整数，则 $\gcd (a,b)=\gcd (b,r)$ ，即 $\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$。

第一种证明：

$a$ 可以表示成 $a=kb+r$ ，则 $r=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$ 。

• 假设 $d$ 是 $a,b$ 的一个公约数，则有 $d\mid a,d\mid b$ ，
  而 $r=a-kb$ ，因此 $d\mid r$ ，故 $d$ 是 $(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ 的公约数；
• 假设 $d$ 是 $(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ 的公约数，则 $d\mid b$ , $d\mid r$ ，
  而 $a=kb+r$ ，因此 $d$ 也是 $(a,b)$ 的公约数。

所以 $(a,b)$ 和 $(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ 的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

第二种证明：

设 $r=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$，$c$ 是 $a,b$ 的最大公约数，即 $c=\gcd (a,b)$ ，
则有 $a=mc,b=nc$ ，其中 $m,n$ 为正整数，且 $m,n$ 互质。
由 $r=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$ 可知，$r=a-kb$ ，其中 $k$ 是正整数，
则 $r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c$ 。

假设 $n,m-kn$ 不互质，则 $n=xd,m-kn=yd$ ，其中 $x,y,d$ 都是正整数，且 $d>1$ ，
则 $a=mc=(kx+y)dc,b=xdc$，这时 $a,b$ 的最大公约数变成 $dc$，与前提矛盾。
所以 $n,m-kn$ 互质，则 $\text{gcd}(b,r)=c=\text{gcd}(a,b)$ ，得证。

算法的实现：

1. 最简单的方法就是应用递归算法。
   代码如下：

   int gcd(int a,int b) {
   	if(b==0) return a;
   	return gcd(b,a%b);
   }
   

2. 用三目运算符改写后（这样会比 $\mathsf{i}\mathsf{f}$ 快一些）：

   int gcd(int a,int b) { return b?gcd(b,a%b):a; }
   

3. 也可以用循环写：

   int Gcd(int a, int b) {
   	int r=a%b;
   	while (r) { a=b; b=r; r=a%b; }	
   	return b;
   }
   

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