洛谷 P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和 任意模数fft
题目描述
在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。
现在他想计算这样一个函数的值:
f(n)=∑ni=0∑ij=0S(i,j)×2j×(j!) f ( n ) = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 i S ( i , j ) × 2 j × ( j ! )
S(i,j) S ( i , j ) 表示第二类斯特林数，递推公式为:
S(i,j)=j×S(i−1,j)+S(i−1,j−1),1≤j≤i−1 S ( i , j ) = j × S ( i − 1 , j ) + S ( i − 1 , j − 1 ) , 1 ≤ j ≤ i − 1 。
边界条件为： S(i,i)=1(0≤i),S(i,0)=0(1≤i) S ( i , i ) = 1 ( 0 ≤ i ) , S ( i , 0 ) = 0 ( 1 ≤ i )
你能帮帮他吗?
输入输出格式
输入格式：
输入只有一个正整数
输出格式：
输出 f(n) f ( n ) 。由于结果会很大，输出 f(n) f ( n ) 对 998244353(7×17×223+1) 998244353 ( 7 × 17 × 2 23 + 1 ) 取模的结果即可。
输入输出样例
输入样例#1：
3
输出样例#1：
87
说明
对于50%数据 1≤n≤5000 1 ≤ n ≤ 5000
对于100%数据 1≤n≤100000 1 ≤ n ≤ 100000
分析：
显然就是推式子了。
其中，第二类斯特林数的通项公式为
S(i,j)=1j!∑k=0j(−1)k∗(jk)∗(j−k)i S ( i , j ) = 1 j ! ∑ k = 0 j ( − 1 ) k ∗ ( j k ) ∗ ( j − k ) i
证明使用生成函数，至于记的话，可以记住只有 (j−k) ( j − k ) 的指数是 i i ，其他全是 j j 和 k k 。
所以，
ans=∑i=0n∑j=0ns(i,j)∗j!∗2j a n s = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n s ( i , j ) ∗ j ! ∗ 2 j
=∑j=0nj!∗2j∑i=0ns(i,j) = ∑ j = 0 n j ! ∗ 2 j ∑ i = 0 n s ( i , j )
=∑j=0nj!∗2j∑i=0n1j!∑k=0j(−1)k∗(jk)∗(j−k)i = ∑ j = 0 n j ! ∗ 2 j ∑ i = 0 n 1 j ! ∑ k = 0 j ( − 1 ) k ∗ ( j k ) ∗ ( j − k ) i
=∑j=0nj!∗2j∑i=0n∑k=0j(−1)kk!∗(j−k)i(j−k)! = ∑ j = 0 n j ! ∗ 2 j ∑ i = 0 n ∑ k = 0 j ( − 1 ) k k ! ∗ ( j − k ) i ( j − k ) !
=∑j=0nj!∗2j∑k=0j(−1)kk!∗∑ni=0(j−k)i(j−k)! = ∑ j = 0 n j ! ∗ 2 j ∑ k = 0 j ( − 1 ) k k ! ∗ ∑ i = 0 n ( j − k ) i ( j − k ) !
显然是一个卷积的形式，直接任意模数fft即可。
代码：
#include )};
for (LL j=i/2;j>=0;j-=2) w[j]=w[j/2];
for (LL j=1;j2 ;j+=2) w[j]=w[j-1]*wn;
for (LL j=0;jfor (LL k=0;k2;k++)
{
rec u=a[j+k],v=a[j+k+i/2]*w[k];
a[j+k]=u+v;
a[j+k+i/2]=u-v;
}
}
}
}
void init(LL len)
{
LL k=trunc(log(len+0.5)/log(2));
for (LL i=0;i>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
}
}
void FFT(LL *x,LL *y,LL *z,LL n,LL m)
{
len=1;
while (len<(n+m-1)) len*=2;
init(len);
for (LL i=0;iif (ix[i]%p; else A=0;
if (i<m) B=y[i]%p; else B=0;
a[i]=(rec){A>>15,A&32767};
b[i]=(rec){B>>15,B&32767};
}
fft(a,1); fft(b,1);
for (LL i=0;i1);
rec da,db,dc,dd;
da=(a[i]+(!a[j]))*(rec){0.5,0};
db=(a[i]-(!a[j]))*(rec){0,-0.5};
dc=(b[i]+(!b[j]))*(rec){0.5,0};
dd=(b[i]-(!b[j]))*(rec){0,-0.5};
dfta[i]=da*dc;
dftb[i]=da*dd;
dftc[i]=db*dc;
dftd[i]=db*dd;
}
for (LL i=0;i*(rec){0,1};
b[i]=dftc[i]+dftd[i]*(rec){0,1};
}
fft(a,-1); fft(b,-1);
for (LL i=0;ix/len+0.5)%p;
db=(LL)(a[i].y/len+0.5)%p;
dc=(LL)(b[i].x/len+0.5)%p;
dd=(LL)(b[i].y/len+0.5)%p;
z[i]=((da<<30)%p+((db+dc)<<15)%p+dd)%p;
}
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
bit[0]=1; jc[0]=1;
for (LL i=1;i<=n;i++)
{
bit[i]=(bit[i-1]*2)%p;
jc[i]=(jc[i-1]*i)%p;
}
inv[n]=power(jc[n],p-2);
for (LL i=n;i>0;i--) inv[i-1]=(inv[i]*i)%p;
g[0]=1; f[0]=1;
for (LL i=1;i<=n;i++)
{
if (i%2) f[i]=(p-1)*inv[i]%p;
else f[i]=inv[i];
g[i]=(power(i,n+1)+p-1)%p*power(i-1,p-2)%p*inv[i]%p;
}
g[1]=n+1;
FFT(f,g,f,n+1,n+1);
for (LL i=0;i<=n;i++) ans=(ans+bit[i]*jc[i]%p*f[i]%p)%p;
printf("%lld",ans);
}