剑指Offer算法题解10-19

10、动态规划系列

10.1 斐波那契数列  马上解题

题目描述

求斐波那契数列的第 n 项，n <= 39。

解题思路

（1）使用递归求解，会重复计算一些子问题。例如，计算 f(4) 需要计算 f(3) 和 f(2)，计算 f(3) 需要计算 f(2) 和 f(1)，可以看到 f(2) 被重复计算了。

（2）使用动态规划，递归是将一个问题划分成多个子问题求解，动态规划也是如此，但是动态规划会把子问题的解缓存起来，从而避免重复求解子问题。

代码

（1）递归解题略

（2）动态规划解题

常规解法

由于当前项的值只和前两项有关，所以只需要保存前两项的值即可，这样就把空间复杂度由O(N)控制在O(1)。

10.2 矩形覆盖  马上解题

题目描述

我们可以用 2*1 的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用 n 个 2*1 的小矩形无重叠地覆盖一个 2*n 的大矩形，总共有多少种方法？

解题思路

当 n 为 1 时，只有一种覆盖方法：

当 n 为 2 时，有两种覆盖方法：

要覆盖 2*n 的大矩形，可以先覆盖 2*1 的矩形，再覆盖 2*(n-1) 的矩形；或者先覆盖 2*2 的矩形，再覆盖 2*(n-2) 的矩形。而覆盖 2*(n-1) 和 2*(n-2) 的矩形可以看成子问题。该问题的递推公式如下：

代码：

10.3 跳台阶  马上解题

题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路

当 n = 1 时，只有一种跳法：

当 n = 2 时，有两种跳法：

跳 n 阶台阶，可以先跳 1 阶台阶，再跳 n-1 阶台阶；或者先跳 2 阶台阶，再跳 n-2 阶台阶。而 n-1 和 n-2 阶台阶的跳法可以看成子问题，该问题的递推公式为：

代码

10.4 变态跳台阶  马上解题

题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级... 它也可以跳上 n 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路

跳上 n-1 级台阶，可以从 n-2 级跳 1 级上去，也可以从 n-3 级跳 2 级上去...，那么

f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(0)

同样，跳上 n 级台阶，可以从 n-1 级跳 1 级上去，也可以从 n-2 级跳 2 级上去... ，那么

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(0)

代码

11. 旋转数组的最小数字  马上解题

题目描述

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个非递减排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。

解题思路

（1）对数组排序，但是时间复杂度至少为O(logN)，而且需要另外的空间O(N)。

（2）遍历数组，时间复杂度为O(N)。

（3）将旋转数组对半分可以得到一个包含最小元素的新旋转数组，以及一个非递减排序的数组。新的旋转数组的数组元素是原数组的一半，从而将问题规模减少了一半，这种折半性质的算法的时间复杂度为 O(logN)（为了方便，这里将 log2N 写为 logN）。

通过修改二分查找算法进行求解（l 代表 low，m 代表 mid，h 代表 high）：当 nums[m] <= nums[h] 时，表示 [m, h] 区间内的数组是非递减数组，[l, m] 区间内的数组是旋转数组，此时令 h = m；否则 [m + 1, h] 区间内的数组是旋转数组，令 l = m + 1。

代码

（1）（2）省略

（3）二分法

针对数组元素不重复的数组

针对元素可以重复的数组

12、矩阵中的路径  马上解题

题目描述

判断在一个矩阵中是否存在一条包含某字符串所有字符的路径。路径可以从矩阵中的任意一个格子开始，每一步可以在矩阵中向上下左右移动一个格子。如果一条路径经过了矩阵中的某一个格子，则该路径不能再进入该格子。

例如下面的矩阵包含了一条 bfce 路径。

解题思路

使用回溯法（backtracking）进行求解，它是一种暴力搜索方法，通过搜索所有可能的结果来求解问题。回溯法在一次搜索结束时需要进行回溯（回退），将这一次搜索过程中设置的状态进行清除，从而开始一次新的搜索过程。例如下图示例中，从 f 开始，下一步有 4 种搜索可能，如果先搜索 b，需要将 b 标记为已经使用，防止重复使用。在这一次搜索结束之后，需要将 b 的已经使用状态清除，并搜索 c。

本题的输入是数组而不是矩阵（二维数组），因此需要先将数组转换成矩阵。

14、剪绳子

题目描述

把一根绳子剪成多段，并且使得每段的长度乘积最大。

n = 2

return 1 (2 = 1 + 1)

n = 10

return 36 (10 = 3 + 3 + 4)

解题思路

（1）贪心

尽可能多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。

证明：当 n >= 5 时，3(n - 3) - n = 2n - 9 > 0，且 2(n - 2) - n = n - 4 > 0。因此在 n >= 5 的情况下，将绳子剪成一段为 2 或者 3，得到的乘积会更大。又因为 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，所以剪成一段长度为 3 比长度为 2 得到的乘积更大。

（2）动态规划

先从最低处开始计算乘积并将每个数可以剪切后得到的成绩最大值进行存储。当计算后面的值的时候利用已经存储好的最大值，计算所有可能的结果并保留最大的。时间复杂度O（n*n）空间复杂度O（n）。

代码

（1）贪心-数学总结

（2）动态规划

15、二进制中1的个数  马上解题

题目描述

输入一个整数，输出该数二进制表示中 1 的个数。

解题思路

n&(n-1)

该位运算去除 n 的位级表示中最低的那一位。

n      : 10110100

n-1    : 10110011

n&(n-1) : 10110000

时间复杂度：O(M)，其中 M 表示 1 的个数。

代码

当n为正数的时候，但是当n为负数时，最终数字会变成0xFFFFFFFF，而进入死循环

所以有变种算法，为了避免陷入死循环，可以不移动数字n，改为移动数字1，跟n进行比较。

还有一个就是解题思路中的办法：

16、数字的整数次方  马上解题

题目描述

给定一个 double 类型的浮点数 base 和 int 类型的整数 exponent，求 base 的 exponent 次方。

解题思路

下面的讨论中 x 代表 base，n 代表 exponent。

因为 (x*x)n/2 可以通过递归求解，并且每次递归 n 都减小一半，因此整个算法的时间复杂度为 O(logN)。

代码

17、打印从 1 到最大的 n 位数

题目描述

输入数字 n，按顺序打印出从 1 到最大的 n 位十进制数。比如输入 3，则打印出 1、2、3 一直到最大的 3 位数即 999。

解题思路

由于 n 可能会非常大，因此不能直接用 int 表示数字，而是用 char 数组进行存储。

使用回溯法得到所有的数。

代码

18.1 在 O(1) 时间内删除链表节点

解题思路

① 如果该节点不是尾节点，那么可以直接将下一个节点的值赋给该节点，然后令该节点指向下下个节点，再删除下一个节点，时间复杂度为 O(1)。

② 否则，就需要先遍历链表，找到节点的前一个节点，然后让前一个节点指向 null，时间复杂度为 O(N)。

综上，如果进行 N 次操作，那么大约需要操作节点的次数为 N-1+N=2N-1，其中 N-1 表示 N-1 个不是尾节点的每个节点以 O(1) 的时间复杂度操作节点的总次数，N 表示 1 个尾节点以 O(N) 的时间复杂度操作节点的总次数。(2N-1)/N ~ 2，因此该算法的平均时间复杂度为 O(1)。

18.2 删除链表中重复的结点  马上解题

题目描述

代码

19 正则表达式匹配  马上解题

题目描述

请实现一个函数用来匹配包括 '.' 和 '*' 的正则表达式。模式中的字符 '.' 表示任意一个字符，而 '*' 表示它前面的字符可以出现任意次（包含 0 次）。

在本题中，匹配是指字符串的所有字符匹配整个模式。例如，字符串 "aaa" 与模式 "a.a" 和 "ab*ac*a" 匹配，但是与 "aa.a" 和 "ab*a" 均不匹配。

解题思路

应该注意到，'.' 是用来当做一个任意字符，而 '*' 是用来重复前面的字符。这两个的作用不同，不能把 '.' 的作用和 '*' 进行类比，从而把它当成重复前面字符一次。

代码