相位 unwrap 与 wrap 算法详解(附代码)
最近接手了一个项目，光通信方面的，我负责编写初测结果的数据处理算法，其中有一个算法，叫做 unwrap 与 wrap，之前没有听说过。通过询问同事与搜索引擎，原来，所谓的 unwrap 是将在 +180 度到 -180 度之间跳变的相位信号，也就是函数值，变为不跳变的形态。而 wrap 则是其逆运算，即将信号恢复成跳变状态。
这样概括实在太模糊，我们用数据与图象来详细说明。
基本概念与数学关系
假设有一组相位数据（在后续说明中，为方便起见，我们只粗略地用整数部分来进行说明，比如第一个值我们就当作 -59 度）：
-59.634834
-92.078697
-126.824913
-158.910297
166.959301
133.708772
96.759715
61.819861
26.786247
-7.944068
...（后面还有很多数据）
如图，这些数据呈现一种类似周期性的循环，当然这并不是真的周期函数，只是因为当它的数值跨越正负 180 度时，就会根据其变化趋势，跳变到边界重新计算。这种状态我们称为相位的卷绕/折叠（网上说法不一），用 wrap 这个单词表示，所以相位的解卷绕/展开被称为 unwrap。
具体到这个示例数据，我们可以得到以下信息：
- 数据本身是递减趋势，从 -59 度不断递减，如 -59、-92、-126、-158。
- 数据中有一个跳变点，即 -158 度到 166 度，也就是图像中第一个正的峰值，跳变后继续下降，直到下次跳变。
unwrap 要做的事情，就是消除这个跳变，让 wrap 函数中 166 度这个点，恢复为 -158 - n 度（n 是正值，为两者之间的间隔）。那么 n 是多少呢，其实很简单，-158 度距离 -180 度为 22 度，达到 -180 度后溢出，起点跳变为 180 度，溢出的值从 180 度继续计算，直到 166 度，距离为 14 度，所以合起来，n 为 22 + 14 = 36 度。
根据这样的规则，wrap 中 166 度这个点，对应的其实是 unwrap 下的 -158 - 36 = -194 度。同时你会发现，166 + 194 恰好是 360 度，而从 -180 跳到 180，也是将函数值增加了 360 度。所以 wrap 的本质，就是当相位超出边界时，补偿 360 度并继续计算，而 unwrap 就是去除这个补偿。所以，wrap 状态下的 166 度对应 unwrap 状态下的 -194 度，之后的 133 度对应 133 - 360 = -227 度，后面每个 wrap 值也都减去 360 度，直到遇见下一个跳变点。
显而易见，第二个 -180 度跳变点，对应的 unwrap 度数为 -180 - 360 = -540 度，其后的值由于跳变，将再次被补偿 360 度，合起来就是 720 度。所以，第二次跳变后的 166 度值，对应的 unwrap 值其实是 -554 度。如此循环，每跳变一次，就要让 wrap 值在之前的基础上，再减去一次 360 度，才能变为正确的 unwrap 值。
由于这里的例子是递减的，wrap 从 -180 跳变到 +180，增加了 360 度，因此 unwrap 计算时需要反向减去 360 度。若是递增函数，那么每次 wrap 自然是从 +180 跳变到 -180，减少 360 度，那么每次 unwrap 就需要重新加上 360 度。你可以将示例数据全部取反，就可以很直观的理解。
因此 unwrap 与 wrap 之间的关系，可以表示为：
$$unwrap(x) = wrap(x) -360 * wrapNum(x) $$
或
$$unwrap(x) = wrap(x) +360 * wrapNum(x) $$
分别对应递减与递增的情况。其中 unwrap(x) 和 wrap(x) 表示两种状态下的函数值，wrapNum 表示跳变次数。
在这里我们将 +360 与 -360 统一使用变量 wrapCycle 来代替，即递减时，wrapCycle 为 +360，递增时为 -360。上面的公式就可以统一起来：
$$unwrap(x) = wrap(x) - wrapCycle * wrapNum(x) $$
unwrap(x) 与 wrap(x) 的图象如下：
计算方法
如公式$$unwrap(x) = wrap(x) - wrapCycle * wrapNum(x) $$所示，要使函数在 wrap 与 unwrap 之间转换，重点在于确定 wrapCycle 与 wrapNum。
wrapCycle 代表了相位函数是递增还是递减，大多数应用场景下，相位都是单调变化的，因此比较好确定，可以直接比对两个相邻 wrap 值的大小关系。若 wrap(1) > wrap(2)，则递减，wrapCycle = 360；若 wrap(1) < wrap(2)，递增，wrapCycle = -360；若两者相同，则可以换下一个值进行比对，一般来讲这种情况极少。
但这里有一个 bug，就是必须保证比较的两个值，不处于跳变点两端。也就是说，如果比对 -59 和 -92，那自然是正确的，但如果比对的值，类似于 -158 和 166，从而得到了递增的结论，那显然是错误的。因此这里就牵扯到了如何确定跳变点的问题。
同样的，要得到 wrapNum，也需要确认跳变点的个数。因此，核心问题就是如何确认跳变点。
1. wrap 函数的跳变点确认
如图，确定两个 wrap 值之间是否发生了跳变，是一个比较直观的问题。 一般的策略是，如果相邻两个值的差距大于 180 度，则说明发生了一次跳变。
但这里会产生一个“歧义”问题，也就是说，对于一个完全未知的 wrap 状态下的数据，我们无法确定相邻两个值之间的差距，到底是因为跳变产生的，还是它本身的变化就是如此。再具体点，也就是说，当你看到相邻两个点的 wrap 值突然变化了 180 度以上，就认为它发生了跳变，其实并不算充要条件，只有加上“相邻两点之间的实际相位变化不会超过 180 度”这样的条件，才能认为这两个 wrap 值的差距是跳变产生的，而不是它的相位值本来就这样变化。
另一个是跳变丢失的问题，也就是指，采集原始数据时，由于间隔太大，导致丢失了一些可以被判断为跳变的数据（差距超出 180 度的点没采集到），这样也无法判断两个值之间是否发生过跳变。解决方案就是，增加数据密集程度，保证两点之间至多只有一个跳变点。
因此，如果要准确的将采集到的数据从 wrap 变为 unwrap，需要你对数据的性质有足够的了解，并且采集点的密集程度要合适。
2. unwrap 函数的跳变点确认
unwrap 函数还原成 wrap 函数相对来讲没有那么多坑。由于 wrap 转 unwrap 的机制，对递增函数而言，其最小值不会小于 -180 度；对递减函数而言，其最大值不会超过 180 度。因此对于不同的情况，以 -180 度或 +180 度为起点，360 度为周期，每经过一个周期，就代表发生了一次跳变，使 wrapNum 加 1，然后乘以 wrapCycle 即可得出需要补偿的角度。
例如，一个递减 unwrap 函数中，如何计算 -600 度对应的 wrap 值？很简单，若设定 180 ~ -180 为第 0 个周期，则第 1 个周期为 -180 ~ -540，第 2 个周期为 -540 ~ -900，-600 处于该周期，wrapNum = 2，wrapCycle = 360，所以相应的 wrap 值为 -600 + 2 * 360 = 120。
编程示例
在这里使用 C 语言做一个示例，只考虑常规情况，即单调且不会出现歧义问题。
/*
描述：对函数进行解卷绕/卷绕
参数：
input：输入函数值
points：需要进行运算的点数，最大为 input 的数组长度
toggle：切换选项。输入 1 进行解卷绕 unwrap，输入 2 进行卷绕 wrap
*/
double* wrapToggle(double input[], int points, int toggle) {
if (points <= 1 || (toggle != 1 && toggle != 2)) {
return input;
}
int PI = 180,
cycleNum = 0,
cycle = 0;
double* result = (double*)malloc(sizeof(double) * points);
// 根据曲线的趋势，判断补偿周期的正负
if (input[0] > input[1]) {
cycle = 2 * PI;
}
else {
cycle = -2 * PI;
}
// 第一个值不变
result[0] = input[0];
// 判断是 unwrap 还是 wrap 运算
// unwrap 解卷绕
if (toggle == 1) {
// 若第 2 个点就跳变，说明之前判断的 cycle 是反的。
if (fabs(input[0] - input[1]) > PI) {
cycle = -cycle;
}
for (int i = 1; i < points; i++) {
// 相邻点差距大于 180 度，说明发生了跳变，补偿周期 +1
if (fabs(input[i - 1] - input[i])>PI) {
cycleNum++;
}
// 每个值都补偿一次周期
result[i] = input[i] - double(cycle) * cycleNum;
}
}
// wrap 卷绕
else if (toggle == 2) {
for (int i = 0; i < points; i++) {
// unwrap 函数绝对值大于 180 的才进行计算
if (fabs(input[i]) > PI) {
cycleNum = abs(int((input[i] + cycle / 2) / 360)) + 1;
result[i] = input[i] + double(cycle) * cycleNum;
}
else {
result[i] = input[i];
}
}
}
return result;
}