生成直线的Bresenham算法

在生成直线的算法中，Bresenham算法是最有效的算法之一。Bresenham算法是一种基于误差判别式来生成直线的方法。

　　一、直线Bresenham算法描述：

　　它也是采用递推步进的办法，令每次最大变化方向的坐标步进一个象素，同时另一个方向的坐标依据误差判别式的符号来决定是否也要步进一个象素。

　　我们首先讨论m=△y/△x，当0≤m≤1且x1

xi+1=xi+1	(2－6)
yi+1=yi+m	(2－7)

　　有两种Bresenham算法思想，它们各自从不同角度介绍了Bresenham算法思想，得出的误差判别式都是一样的。

 

　二、直线Bresenham算法思想之一：

　　由于显示直线的象素点只能取整数值坐标，可以假设直线上第i个象素点坐标为(xi，yi)，它是直线上点(xi，yi)的最佳近似，并且xi=xi(假设m<1），如下图所示。那么，直线上下一个象素点的可能位置是(xi+1，yi)或(xi+1，yi+1)。

由图中可以知道，在x=xi+1处，直线上点的y值是y=m(xi+1)+b，该点离象素点(xi+1，yi)和象素点(xi+1，yi+1)的距离分别是d1和d2： 
 

d1=y-yi=m(xi+1)+b-yi	(2－8)
d2=(yi+1)-y=(yi+1)-m(xi+1)-b	(2－9)

　　这两个距离差是

d1-d2=2m(xi+1)-2yi＋2b-1

(2－10)

　　我们来分析公式(2-10)：
　　(1)当此值为正时，d1>d2，说明直线上理论点离(xi+1，yi+1)象素较近，下一个象素点应取(xi+1，yi+1)。
　　(2)当此值为负时，d1xi+1，yi)象素较近，则下一个象素点应取(xi+1，yi)。
　　(3)当此值为零时，说明直线上理论点离上、下两个象素点的距离相等，取哪个点都行，假设算法规定这种情况下取(xi+1，yi+1)作为下一个象素点。

　　因此只要利用(d1-d2)的符号就可以决定下一个象素点的选择。为此，我们进一步定义一个新的判别式：

pi=△x×(d1-d2)=2△y·xi-2△x·yi+c

(2－11)

　　式(2-11)中的△x=(x2-x1)>0，因此pi与(d1-d2)有相同的符号；

　　这里△y=y2-y1，m=△y/△x；c=2△y+△x(2b-1)。

　　下面对式(2-11)作进一步处理，以便得出误差判别递推公式并消除常数c。

　　将式(2-11)中的下标i改写成i+1，得到：

pi+1=2△y·xi+1-2△x·yi+1+c

(2－12)

 

　　将式(2-12)减去(2-11)，并利用xi+1=xi+1，可得：

pi+1= pi+2△y-2△x·(yi+1-yi)

(2－13)

　　再假设直线的初始端点恰好是其象素点的坐标，即满足：

y1=mx1+b

(2－14)

　　由式(2-11)和式(2-14)得到p1的初始值：

p1=2△y-△x

(2－15)

　　这样，我们可利用误差判别变量，得到如下算法表示：

	初始 　　　 p1=2△y-△x	(2－16)
	当pi≥0时： yi+1=yi+1, 　　　　　　xi+1=xi+1， 　　　　　　pi+1=pi+2(△y-△x)
	否则：　　　yi+1=yi, 　　　　　　xi+1=xi+1，  　　　　　　pi+1=pi+2△y

 

　　从式(2-16)可以看出，第i+1步的判别变量pi+1仅与第i步的判别变量pi、直线的两个端点坐标分量差△x和△y有关，运算中只含有整数相加和乘2运算，而乘2可利用算术左移一位来完成，因此这个算法速度快并易于硬件实现。

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