回溯法解决8皇后问题

1、皇后问题解决思路:使用回溯法解决,也就是通常所说的利用树的深度优先搜索求解。即沿着一条路径往下走,如果走不通,那就往回走,尝试另一条路径。
皇后问题的求解过程中,每一个树结点都可以看做是棋局的局部布局或者是完整布局。根结点表示棋局的原始状态,没有任何棋子。之后的层与层之间表示一种状态转换,状态转换的过程就是构造树的过程,也就是树的深度优先搜索的过程。在状态转换的任何时刻,都需要满足约束条件:任何时刻两个棋子不能位于同一行、同一列、或者同一对角线(正对角线、反对角线)。

2、算法实现考虑的问题
①、棋盘及解的表示:最直观的表示方法是使用二维数组,但是二维数组在表示棋盘的时候处理起来不太方便,因此,最有效的表示方法是用一维整型数组x[i]表示棋盘及解。x[i]表示第i行的皇后放置在第x[i]列。
②、放置皇后:将dii个皇后放置在第j个位置。即x[i]=j;
③、约束条件:
不在同一行:每一行只放置一个皇后,从而保证了两个皇后不可能同时在同一行中。
不在同一列:x[i]≠x[k],k = 1,2…i-1;即第x[i]列与之前的(i-1)列都不相同。
不在正对角线上:x[i]-i≠x[k]-k;即列号减去行号的值不相等。因为若是在同一对角线上,那么该差值必然相等。
不在反对角线上:x[i]+i≠x[k]+k;这里道理也是一样的。
综合两个对角线的约束条件:abs(x[i]-x[k])≠abs(i-k)
④、终止条件:对于n皇后问题,假设用i表示皇后编号,从i=1开始放置皇后,那么当i>=n时终止。

3、皇后问题Java代码实现

public class Queen {
	int n;		// n:需要放置的皇后个数
	int ct;		// 满足要求的合法解的个数
	int[] x;		// 表示棋盘及解的一维数组
	
	// 构造函数
	public Queen(int n) {
		this.n = n;
		this.ct = 0;
		x = new int[n+1];		// 棋盘下标从1开始,所以申请数组长度是n+1
	}
	
	// 递归摆放皇后
	public void setQueen (int i) {
		// 得到一个满足要求的皇后放置方式,输出位置表示
		if (i > n) {
			output ();
			ct++;
			return;
		}
		
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			x[i] = j;
			if (constraint (i)) {
				setQueen(i+1);
			} else {
				x[i] = 0;
			}
		}
	}
	
	// 检查摆放位置是否合法
	public boolean constraint (int i) {
		for (int k = 1; k < i; k++) {
			if (x[i] == x[k] || (Math.abs(x[i]-x[k]) == Math.abs(i-k))) {
				return false;
			}
		}
		return true;
	}
	
	// 输出合法解
	public void output () {
		int i;
		System.out.print("(");
		for (i = 1; i <= n; i++) {
			System.out.printf("%4d", x[i]);
		}
		System.out.println("		)");
	}
	
	// 主函数测试
	public static void main(String[] args) {
		Queen queen = new Queen(8);
		queen.setQueen(1);
		System.out.println(queen.ct);
	}
}

运行结果:
( 1 5 8 6 3 7 2 4 ):表示第一行的皇后放置于第一列;第二行皇后放置于第五列;第三行皇后放置于第八列…以此类推。

(   1   5   8   6   3   7   2   4   )
(   1   6   8   3   7   4   2   5   )
(   1   7   4   6   8   2   5   3   )
(   1   7   5   8   2   4   6   3   )
(   2   4   6   8   3   1   7   5   )
(   2   5   7   1   3   8   6   4   )
(   2   5   7   4   1   8   6   3   )
(   2   6   1   7   4   8   3   5   )
(   2   6   8   3   1   4   7   5   )
(   2   7   3   6   8   5   1   4   )
(   2   7   5   8   1   4   6   3   )
(   2   8   6   1   3   5   7   4   )
(   3   1   7   5   8   2   4   6   )
(   3   5   2   8   1   7   4   6   )
(   3   5   2   8   6   4   7   1   )
(   3   5   7   1   4   2   8   6   )
(   3   5   8   4   1   7   2   6   )
(   3   6   2   5   8   1   7   4   )
(   3   6   2   7   1   4   8   5   )
(   3   6   2   7   5   1   8   4   )
(   3   6   4   1   8   5   7   2   )
(   3   6   4   2   8   5   7   1   )
(   3   6   8   1   4   7   5   2   )
(   3   6   8   1   5   7   2   4   )
(   3   6   8   2   4   1   7   5   )
(   3   7   2   8   5   1   4   6   )
(   3   7   2   8   6   4   1   5   )
(   3   8   4   7   1   6   2   5   )
(   4   1   5   8   2   7   3   6   )
(   4   1   5   8   6   3   7   2   )
(   4   2   5   8   6   1   3   7   )
(   4   2   7   3   6   8   1   5   )
(   4   2   7   3   6   8   5   1   )
(   4   2   7   5   1   8   6   3   )
(   4   2   8   5   7   1   3   6   )
(   4   2   8   6   1   3   5   7   )
(   4   6   1   5   2   8   3   7   )
(   4   6   8   2   7   1   3   5   )
(   4   6   8   3   1   7   5   2   )
(   4   7   1   8   5   2   6   3   )
(   4   7   3   8   2   5   1   6   )
(   4   7   5   2   6   1   3   8   )
(   4   7   5   3   1   6   8   2   )
(   4   8   1   3   6   2   7   5   )
(   4   8   1   5   7   2   6   3   )
(   4   8   5   3   1   7   2   6   )
(   5   1   4   6   8   2   7   3   )
(   5   1   8   4   2   7   3   6   )
(   5   1   8   6   3   7   2   4   )
(   5   2   4   6   8   3   1   7   )
(   5   2   4   7   3   8   6   1   )
(   5   2   6   1   7   4   8   3   )
(   5   2   8   1   4   7   3   6   )
(   5   3   1   6   8   2   4   7   )
(   5   3   1   7   2   8   6   4   )
(   5   3   8   4   7   1   6   2   )
(   5   7   1   3   8   6   4   2   )
(   5   7   1   4   2   8   6   3   )
(   5   7   2   4   8   1   3   6   )
(   5   7   2   6   3   1   4   8   )
(   5   7   2   6   3   1   8   4   )
(   5   7   4   1   3   8   6   2   )
(   5   8   4   1   3   6   2   7   )
(   5   8   4   1   7   2   6   3   )
(   6   1   5   2   8   3   7   4   )
(   6   2   7   1   3   5   8   4   )
(   6   2   7   1   4   8   5   3   )
(   6   3   1   7   5   8   2   4   )
(   6   3   1   8   4   2   7   5   )
(   6   3   1   8   5   2   4   7   )
(   6   3   5   7   1   4   2   8   )
(   6   3   5   8   1   4   2   7   )
(   6   3   7   2   4   8   1   5   )
(   6   3   7   2   8   5   1   4   )
(   6   3   7   4   1   8   2   5   )
(   6   4   1   5   8   2   7   3   )
(   6   4   2   8   5   7   1   3   )
(   6   4   7   1   3   5   2   8   )
(   6   4   7   1   8   2   5   3   )
(   6   8   2   4   1   7   5   3   )
(   7   1   3   8   6   4   2   5   )
(   7   2   4   1   8   5   3   6   )
(   7   2   6   3   1   4   8   5   )
(   7   3   1   6   8   5   2   4   )
(   7   3   8   2   5   1   6   4   )
(   7   4   2   5   8   1   3   6   )
(   7   4   2   8   6   1   3   5   )
(   7   5   3   1   6   8   2   4   )
(   8   2   4   1   7   5   3   6   )
(   8   2   5   3   1   7   4   6   )
(   8   3   1   6   2   5   7   4   )
(   8   4   1   3   6   2   7   5   )
92

主要参考《数据结构(Java语言描述)》丁海军著P186-P190

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