线段树
什么是线段树
线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn)
经典线段树问题：区间染色
有一面墙，长度为n，每次选择一段墙进行染色
m次操作后，我们可以看见几种颜色？
m次操作后，我们可以在[i,j]区间看见多少种颜色？
| 使用数组实现 | 使用线段树 | |
|---|---|---|
| 染色操作（更新区间） | O(n) | O(logn) |
| 查询操作（查询区间） | O(n) | O(logn) |
线段树的基本表示
public class SegmentTree {
private E[] data;
private E[] tree;
public SegmentTree(E[] arr) {
data = (E[]) new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];
}
public E get(int index) {
if (index < 0 || index >= data.length) {
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
}
return data[index];
}
public int getSize() {
return data.length;
}
// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
private int leftChild(int index){
return 2 * index + 1;
}
// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
private int rightChild(int index){
return 2 * index + 2;
}
} 如何在线段树中查询2，5
首先我们先得到根节点，我们会发现2在0……3区间中，而5在4……7区间中。
这样的话我们可以拿到根节点的两个子节点。
0……3的左孩子不包含2……3节点所以我们去获取右孩子节点即可，4……7同理。
之后我们将两个节点组合起来即可。
创建线段树及查询
public interface Merger {
E merge(E a,E b);
} public class SegmentTree {
private E[] data;
private E[] tree;
private Merger merger;
public SegmentTree(E[] arr, Merger merger) {
data = (E[]) new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];
buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
this.merger = merger;
}
//在treeIndex的位置创建表示区间【l...r】的线段树
private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
if (l == r) {
tree[treeIndex] = data[l];
return;
}
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
int mid = l + (r - l) / 2;
buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}
public E get(int index) {
if (index < 0 || index >= data.length) {
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
}
return data[index];
}
public int getSize() {
return data.length;
}
// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
private int leftChild(int index) {
return 2 * index + 1;
}
// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
private int rightChild(int index) {
return 2 * index + 2;
}
//返回区间值[queryL,queryR]
public E query(int queryL, int queryR) {
if (queryL < 0 || queryR >= data.length || queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR) {
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
}
return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
}
//在以treeID为根的线段树中【l...r】的范围里，搜索区间【queryL...queryR】的值
private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
if (l == queryL && r == queryR) {
return tree[treeIndex];
}
int mid = l + (r - l) / 2;
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
if (queryL >= mid + 1) {
return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
} else if (queryR <= mid) {
return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
}
E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
return merger.merge(leftResult, rightResult);
}
//将index位置的值，更新为e
public void set(int index, E e) {
if (index < 0 || index >= data.length) {
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
}
data[index] = e;
set(0, 0, data.length - 1, index, e);
}
// 在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {
if (l == r) {
tree[treeIndex] = e;
return;
}
int mid = l + (r - l) / 2;
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
if (index >= mid + 1) {
set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
} else {
set(leftTreeIndex, l, mid, index, e);
}
tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}
}