回溯法(一)——n皇后问题

问题描述

在一个n*n的棋盘上放置皇后，要求：一个皇后的同一行、同一列、同一条对角线上不允许出现其他皇后。请给出所有的放置方案。

算法思路

思路很简单，由于每行每列不能出现两个皇后，因此每行只能放一个皇后，那么第i行中皇后究竟应该放哪儿呢？我们可以从第i行第一列开始依次向后逐格判断，看看若放在当前位置是否会冲突，若不冲突，则继续考虑下一行，若冲突，则继续向后移动一格，再判断。
若i行所有的位置都不满足，则回溯，将i-1行皇后的位置往后移动，直到找到一个合理的位置，再继续从前往后寻找i行的位置。

示例

求解4皇后问题。

1. 寻找第一行插入点：首先将Q放置a[0][0]，无冲突；
2. 寻找第二行插入点：a[1][0]、a[1][1]均冲突，a[1][2]可行；

3. 寻找第三行插入点：发现所有格子都冲突，此时要发生回溯！
   

4. 回到第二行，继续向后寻找插入点，找到a[1][3]；

5. 寻找第三行插入点：a[2][1]

6. 寻找第四行插入点：发现所有位置都冲突，则回溯！
   

7. 寻找第三行插入点：发现全都冲突，则继续回溯；

8. 寻找第二行插入点：发现全都冲突，则继续回溯；
9. 寻找第一行插入点：a[0][1]；
10. 寻找第二行插入点：a[1][3]；
11. 寻找第三行插入点：a[2][0]；
12. 寻找第四行插入点：a[3][2]，此时找到一种方案。
    

数据结构

result数组：存储结果集。

• 下标表示行号；
• result[i]表示第i行皇后的列号。

代码实现

/**
 * N皇后问题
 * @param n 矩阵规模
 * @param i 行号
 * @param result 皇后的结果集(下标表示行号，值表示列号)
 */
void NQueen( int n, int i, int[] result ){
   for( int j=0; jif ( canPlace(n,i,j,result) ){
            result[i] = j;
            if ( i==n-1 ) {
                printResult(result);
            }
            else {
                NQueen(n,i+1,result);
            }
        }
   } 
}

/**
 * 判断第i行第j列能不能放
 * @param n 矩阵规模
 * @param i 行号
 * @param j 列号 
 * @param result 皇后的结果集(下标表示行号，值表示列号)
 */
private boolean canPlace(int n, int i, int j, int[] result){
    for( int z=0; z// 判断列号是否相同、是否在对角线上（长、宽是否相等）
        if ( j==result[z] || (i-z)==Math.abs(j-result[z]) )
            return false;
    }
    return true;
}

/**
 * 打印结果集
 * @param result 结果集
 */
private void printResult(int[] result){
    for( int i=0; i"第"+i+"行，第"+result[i]+"列"); 
    }
}