机器学习理论《统计学习方法》学习笔记：第三章 k近邻法

3 k近邻法

• K近邻法（k-nearest neighbor,k-NN）是一种基本分类与回归方法。K近邻法的输入为实例的特征向量，对应于特征空间的点；输出为实例的类别，可以取多类。
• K近邻法假设给定一个数据集，其中的实例类别已定。分类时，对新的实例，根据其K个最邻近实例的类别，通过多数表决等方式进行预测。因此，K近邻法不具有显式的学习过程。
• K近邻法实际上利用训练数据集对特征向量空间进行划分，并作为其分类的模型。K值的选择、距离度量、及分类决策规则是K邻近法的三个基本要素。

3.1 K近邻算法

• K近邻算法简单、直观：给定一个训练数据集，对新的输入实例，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的K个实例，这K个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分为这个类。

K近邻法
输入：训练数据集$$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_N,y_N)\}$$，其中 $x_i\in X\subseteq R^n$,为实例的特征向量，$y_i\in Y=\{c_1,c_2,\cdots ,c_k\}$为实例的类别，$i=1,2,\cdots ,N$；实例特征向量x。
输出：实例x所属的类y。
（1）根据给定的距离度量，在训练集 $T$ 中找出与x最邻近的K个点，涵盖这K个点的x的领域记作$N_k(x)$.
（2）在$N_k(x)$中根据分类决策规则（如多数表决）决定x的类别y：$$y=argma{x}_{c_j}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_j),i=1,2,\cdots ,N;j=1,2,\cdots ,K$$,$I$为指示函数，即当$y_i=c_j$时$I$为1，否则 $I$ 为 $0$.

• K近邻法的特殊情况是$k=1$的情形，称为最近邻算法。对于输入的实例点（特征向量）x，最近邻法将训练数据集中与x最邻近点的类作为x的类。
• K近邻法没有显式的学习过程。

3.2 K近邻模型

K近邻法使用的模型实际上对应于特征空间的划分，模型由三个基本要素：距离度量、K值得选择、分类决策规则决定。

3.2.1 模型

• K近邻法中，当训练集、距离度量（如欧式距离）、K值及分类决策规则（如多数表决）确定后，对于任何一个新的输入实例，它所属的类唯一的确定。这相当于根据上述要素将特征空间划分为一些子空间，确定子空间里每个点所属的类。
• 特征空间中，对每个训练实例点$x_i$，距离该点比其他点更近的所有点组成的一个区域，叫做单元（cell）。每个训练实例点拥有一个单元，所有训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分。最近邻法将实例$x_i$的类$y_i$作为其单元中所有点的类标记（Class Label）。这样，每个单元的实例点的类别是确定的。
• K近邻法的模型对应特征空间的一个划分。
  

3.2.2 距离度量

• 特征空间中两个实例点的距离是两个实例点相似度的反映。K近邻模型的特征空间一般是n为实数向量空间$R^n$。使用的距离是欧式距离，也可以是其他距离，如更一般的$L_p$距离或者Minkowshi距离。
• 设特征空间$X$是n维实数向量空间$R^n$,$x_i,x_j\in X,x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},\cdots ,x_i^{(n)}{)}^T,x_j=(x_j^{(1)},x_j^{(2)},\cdots ,x_j^{(n)}{)}^T$，$x_i,x_j$的$L_p$的距离定义为：$$L_p(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$$这里$p\ge 1$。
• 当$p=2$时，称为欧式距离，即$$L_2(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$
• 当$p=1$时，称为曼哈顿距离，即$$L_1(x_i,x_j)=\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|$$
• 当$p=\infty$时，是各个坐标距离的最大值，即$$L_{\infty }(x_i,x_j)=ma{x}_l|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|$$
• 二维空间中，P不同取值时，与原点的$L_p$距离为$1(L_p=1)$的点的图形。
  

3.2.3 K值的选择

• K值的选择对K近邻法的结果产生重大影响。
• 如果选择较小的K值，就相当于较小的邻域中的训练实例进行预测，学习的近似误差会减小，只有与输入实例较近的（相似的）训练实例才会对预测实例起作用。但缺点是学习的估计误差会增大，预测结果会对近邻的实例点非常敏感。如果邻近的实例点恰巧是噪声，预测就会出错。换句话说，K值的减小意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合。
• 如果选择较大的K值，就相当于用较大领域中的训练实例进行预测。其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时与输入实例较远的（不相似的）训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误。K值的增大就意味着整体的模型变得简单。
• 如果K=N，那么无论输入实例是什么，都将简单的预测它属于在训练实例中最多的类。这时，模型过于简单，完全忽略训练实例中的大量有用信息，是不可取的。
• 在应用中，K值一般取一个比较小的数值。通常采用交叉验证法来选取最优的K值。

3.2.4 分类决策规则

• K近邻法中的分类决策规则往往是多数表决，即由输入实例的K个邻近的训练实例中的多数类决定输入实例的类。
• 多数表决规则有如下解释：如果分类的损失函数为0-1损失函数，分类函数为$$f:R^n\to \{c_1,c_2,\cdots ,c_k\}$$那么误分类的概率是$$P(Y\ne f(X))=1-P(Y=f(X))$$对给定的实例$x\in X$，其最近邻的K个训练实例点构成集合$N_k(x)$.
• 如果涵盖$N_k(x)$的区域的类别是$c_j$，那么误分类率是$$\frac{1}{k}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i\ne c_j)=1-\frac{1}{k}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_j)$$
  要使误分类最小即经验风险最小，就要使$$\frac{1}{k}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_j)$$最大，所以多数表决规则等价于经验风险最小化。

3.3 K近邻法的实现：kd树

• 实现k近邻法时，主要考虑的问题是如何对训练数据进行快速k近邻搜索，在特征空间的维数大，及训练数据容量大时尤为重要。
• K近邻法最简单的实现方法就是线性扫描。这时要计算输入实例与每一个实例的距离，当训练集很大时，计算非常耗时，这种方法是不可行的。
• 为了提高K近邻搜索的效率，可以考虑使用特殊的结构存储训练数据，以减少计算距离的次数。具体方法有很多，下面介绍其中的kd树方法。

3.3.1 构造kd树

• kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储，以便对其进行快速检索的树形数据结构。kd树是二叉树，表示对k维空间的一个划分（partition）。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域。kd树的每个结点对应于一个k维超矩形区域。
• 构造kd树的方法如下：构造根节点，使根节点对应于K维空间中，包含所有实例点的超矩形区域；通过下面的递归方法，不断地对K维空间进行切分，生成子结点。在超矩形区域（结点）上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点，确定一个超平面，这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴，将当前超矩形区域切分为左右两个子区域（子结点）；这时，实例被分到两个子区域，这个过程直到子区域内没有实例时终止（终止时的结点为叶结点）。在此过程中，将实例保存在相应的结点上。
• 通常，依次选择坐标轴对空间切分，选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数为切分点，这样得到的kd树是平衡的。注意，平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的。

构造平衡kd树
输入：k维空间数据集$$T=\{x_1,x_2,\cdots ,x_N\}$$其中$$x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},\cdots ,x_i^{(k)}{)}^T,i=1,2,\cdots ,N$$
输出：kd树
（1）开始：

• 构造根结点，根结点对应于包含$T$的k维空间的超矩形区域。
• 选择$x^{(1)}$为坐标轴，以$T$中所有实例的$x^{(1)}$坐标的中位数为切分点，将根结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴$x^{(1)}$垂直的超平面实现。
• 由根节点生成深度为1的左右子结点：左子结点对应坐标$x^{(1)}$小于切分点的子区域，右子结点对应于坐标$x^{(1)}$大于切分点的子区域。
• 将落在切分超平面上的实例点保存在根结点。

（2）重复：

• 对深度为$j$的结点，选择$x^{(l)}$为切分的坐标轴，$l=j(modk)+1$，以该结点的区域中所有实例的$x^{(l)}$坐标的中位数为切分点，将该结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴$x^{(l)}$垂直的超平面实现。
• 由该结点生成深度为$j+1$的左、右子节点：左子结点对应坐标$x^{(l)}$小于切分点的子区域，右子结点对应坐标$x^{(l)}$大于切分点的子区域。

（3）直到两个子区域没有实例存在时停止。从而形成kd树的区域划分。

3.3.2 搜索kd树

如何利用kd树进行k近邻搜索？

• 利用kd树可以省去对大部分数据点的搜索，从而减少搜索的计算量。
• 给定一个目标点，搜索其最近邻。首先找到包含目标点的叶结点。然后从叶结点出发，依次回退到父结点，不断查找与目标点最邻近的结点，当确定不可能存在更近的结点时终止。这样的搜索就被限制在空间的局部区域上，效率大为提高。
• 包含目标点的叶结点对应包含目标点的最小超矩形区域。以此叶结点的实例点作为当前最近点。目标点的最近邻一定在以目标点为中心，并通过当前最近点的超球体的内部。然后返回当前结点的父结点，如果父结点的另一子结点的超矩形区域与超球体相交，那么在相交的区域内寻找与目标点更接近的实例点。如果存在这样的点，将此点作为新的当前最近点。算法转到更上一级的父结点，继续上述过程。如果父结点的另一子结点的超矩形区域与超球体不相交，或不存在比当前最近点更近的点，则停止搜索。

用kd树的最近邻搜索
输入：已构造的kd树，目标点x；
输出：x的最近邻；
(1)在kd树中找出包含目标点x的叶结点：从根结点出发，递归地向下访问kd树。若目标点x当前维的坐标小于切分点的坐标，则移动到左子结点，否则移动到右子结点。直到子结点为叶结点为止。
(2)以此叶结点“当前最近点”。
(3)递归地向上回退，在每个结点进行以下操作：
（a）如果该结点保存的实例点比当前最近点距离目标更近，则以该实例点为当前最近点。
（b）当前最近点一定存在于该结点一个子结点对应的区域。检查该子结点的父结点的另一子结点对应的区域是否有更近的点。具体地，检查另一子结点对应的区域是否与以目标点为球心、以目标点与当前最近点间的距离为半径的超球体相交。
如果相交，可能在另一个子结点对应的区域内存在距目标点更近的点，移动到另一个子结点。接着，递归地进行最近邻搜索。
如果不相交，向上回退。
(4)当回退到根结点时，搜索结束。最后的当前最近点即为x的最近邻点。

• 如果实例点是随机分布的，kd树搜索的平均计算复杂度是$O(logN)$，这里$N$是训练实例数。kd树更适用于训练实例数远大于空间维数时的k近邻搜索。当空间维数接近训练实例数时，它的效率会迅速下降，几乎接近线性扫描。

本章概要

1. k近邻法是基本且简单的分类与回归方法。k近邻法的基本做法是：对给定的训练实例点和输入实例点，首先确定输入实例点的k个最近邻训练实例点，然后利用这k个训练实例点的类的多数来预测输入实例点的类。
2. k近邻模型对应于基于训练数据集对特征空间的一个划分。k近邻法中，当训练集、距离度量、k值及分类决策规划确定后，其结果唯一确定。
3. k近邻法三要素：距离度量、k值的选择、分类决策规则。常用的距离度量是欧氏距离及更一般的$L_p$距离。k值小时，k近邻模型更复杂；k值大时，k近邻模型更简单。k值的选择反映了对近似误差与估计误差之间的权衡，通常由交叉验证选择最优的k。常用的分类决策规则是多数表决，对应于经验分线最小化。
4. k近邻法的实现，需要考虑如何快速搜索k个最近邻点。kd树是一种便于对k维空间中的数据进行快速检索的数据结构。kd树是二叉树，表示对k维空间的一个划分，其每个结点对应于k维空间划分中的一个超矩形区域。利用kd树可以省去对大部分数据点的搜索，从而减少搜索的计算量。