3.矩阵

基本矩阵与初等矩阵

例：设是数域上的级矩阵，证明：如果，那么可以表示成第三类初等矩阵乘积。

秩1矩阵

命题：设是一个秩为1的矩阵。
则：(1)
(2)
(3)是的最小多项式
Ⅰ.，A可相似对角化
Ⅱ.，不可相似于对角阵，若当标准型为

例题：已知是一个级矩阵，则可以表示成多项式。
证明：首先，我们知道
现分为上述三种情况进行讨论
①时由 知为矩阵的一个零化多项式，记为而那么将带入后，两边同时乘以，移项得到结果。
②时显然
③时最难：记
分为三步：
(1)证明：考虑，又，记基础解分别为则的列向量可以被线性表出，行向量可以被线性表出，若则，当时，存在故，那么即秩为1。
(2)的最小多项式其中否则才是的最小多项式，我们得到，又非零，即为的一组基
(3)由则可以由表出，即被的多项式表出。

分块矩阵证秩不等式

超级典型例题

是多项式，且，则
证明：
法一：利用线性空间相关知识知二者是直和关系
法二：分块对角为变出

命题：已知分别是的矩阵，则

例题1：已知都是级方阵，且，，证明：

例题2：已知都是级方阵，且，证明：存在正整数使得试问：可以吗

提示：
如果存在使得那么可以将上述的矩阵进一步化为，进一步知又显然有证毕

等价标准型

命题：任意一个非零矩阵都可以分解为一个列满秩矩阵和一个行满秩矩阵的乘积。(经验：题目什么都没有已知，或者只已知了矩阵的秩，一定要想到等价标准型)
等价标准型：设是一个秩为的矩阵，则存在级可逆矩阵与级可逆矩阵使得

例题1：设都是数域上的的列满秩矩阵，证明：存在数域上的级可逆矩阵使

例题2：已知是一个秩为的矩阵，求矩阵方程的通解

矩阵的迹与幂零矩阵

命题：已知是数域上的级矩阵，则是幂零矩阵充要条件是对任意的正整数都有

幂零矩阵几种等价说法：对于一个级矩阵，如果存在整数使得则称是一个幂零矩阵，如果还有，则称为的幂零指数，一个等价的命题就是：如果方阵的所有特征值都等于零，则称是一个幂零矩阵。

例题1：已知表示所有级复矩阵组成的线性空间，是一个线性映射，并且满足对任意的，都有，证明存在使得对任意的，都有

例题2：已知数域上的两个级矩阵满足，则不可逆

例题3：已知数域上的两个n级矩阵满足，则对任意的正整数，都有(即是幂零矩阵)

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分块乘法与初等变换强调与应用

例题1.已知是级矩阵，的所有顺序主子式都大于零，且非主对角上的元素都为负数，则元素都为正数

例题2.设为维实对称矩阵，且所有顺序主子式非零，则合同于对角矩阵

例题3.主对角元素都为的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵，已知级对称矩阵的各阶顺序主子式都不为零，则存在特殊的上三角矩阵使得为对角矩阵，且与有完全相同的顺序主子式。

提示：数学归纳法！！！