近世代数理论基础30：多项式的分裂域与正规扩张

多项式的分裂域与正规扩张

分裂域

定义：是域F上的n次多项式,是的一个扩张,若

1.在上能分解成一次因子的乘积

2.

则称E为在F上的一个分裂域,或在F上的分裂扩张

例：

1.是多项式在上的分裂域

在上分解为

2.多项式的两个根为,故在上的分裂域为

3.是多项式在上的分裂域

注：若为F上的二次多项式,为的根,则是f(x)在F上的分裂域

定理：域F上任一多项式f(x)在F上总有分裂域

证明：

引理：若是两个同构的域,则也同构

证明：

注：在同构下,任一上不可约多项式的像仍是上同次不可约多项式,若原像是首1的,则像也是首1的

引理：若是两个同构的域,是中的首1多项式,是同构下的像,若和分别为和的根,则存在与间的一个同构映射,将映为,且该同构映射保持原来与间的同构映射

证明：

注：当,并取它们的同构映射为恒等映射,引理即定理：设和是域F的两个单扩张,且和在上的极小多项式都是,则

定理：设为域F与间的同构映射,,有,设为上的任一多项式,将扩张为与间的同构,令表示在该同构下的像,若和分别为和在F和上的分裂域,则可扩充为与间的同构,设r为这种扩充的个数,则,进而若没有重根,则

证明：

注：取,为F的恒等映射,可得推论

推论：设F为域,,和为在F上的两个分裂域,则共有m个-同构,其中,又若无重根,则,特别地,f(x)在F上的分裂域在同构意义下唯一

多项式分裂域的性质

定理：若E是在F上的分裂域,,则在F上的极小多项式在E上能分解成一次因子的乘积

证明：

正规扩张

定义：设E是域F的扩张,若F上任一不可约多项式在E中有一个根,它在E上就能分解成一次因子的乘积,则E称为F的正规扩张

注：一个多项式的分裂扩张一定是正规扩张,反之,任一有限正规扩张也一定是某个多项式的分裂扩张

例：

1.求多项式在域上的分裂域

解：

2.设p为素数,是p次本原单位根,它在上的极小多项式为,在上不可约

故在上的分裂域为,且