剑指Offer刷题笔记——孩子们的游戏（圆圈中最后剩下的数）

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

现在这读题都是考验了。。。。

就是约瑟夫环的题：

使用动态规划。我们注意到，输入的序列在删除一个元素后，序列的长度会改变，如果索引

在被删除的元素位置开始计算，那么每删除一个元素，序列的长度减一而索引会完全改变。

如果能找到改变前的索引和新索引的对应关系，那么该问题就容易解决了。

我们定义一个函数f(n, m)，表示每次在n个数字0,1,2,3,…,n-1中每次删除第m个数字后剩下

的数字。那么第一个被删除的数字的索引是(m-1)%n。删除该索引元素后，剩下的n-1个数字

为0,1,2,…,k-1,k+1,…,n-1。下次删除数字是重k+1位置开始，于是可以把序列看

作k+1,..,n-1,0,1,…,k-1。该序列最后剩下的序列也是f的函数。但该函数和第一个函数

不同，存在映射关系，使用f'来表示，于是有：f(n, m)=f'(n-1, m)。接下来需要找到映射关系。

k+1 --> 0

k+2 --> 1

     .

     .

     .

n-1 --> n-k-2

0   --> n-k-1

     .

     .

     .

k-1 --> n-2

所以可以得到：right = left-k-1，则p(x) = (x-k-1)%n，而逆映射是p'(x) = (x+k+1)%n

即0~n-1序列中最后剩下的数字等于（0~n-2序列中最后剩下的数字+m）%n (m=k+1)，很明显当n=1时，

只有一个数，那么剩下的数字就是0.问题转化为动态规划问题，关系表示为：

 

f(n)=(f(n-1)+m)%n； 当n=1,f(1)=0;

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def LastRemaining_Solution(self, n, m):
        # write code here
        if n < 1 or m < 1:
            return -1
        last = 0
        for i in range(2,n+1):
            last = (last + m) % i
        return last