02-一次准则函数及梯度下降法

1. 感知器算法（两类）

基本思想：用训练模式检验初始的或迭代中的增广权矢量w的合理性，当不合理时，对齐进行校正。
算法实质：最优化技术中的梯度下降法。也是人工神经网络理论中的线性阈值神经元学习方法。
如果训练模式是线性可分的，感知器训练算法是在有限次迭代后便可以收敛到正确的解矢量\(w^*\)

代码实现：

初始化和释放：

int init_data()
{
	int i, j;
	int *data;
	mat_point = cvCreateMat(COUNT, 4, CV_32SC1);
	cvSetZero(mat_point);

	srand(time(NULL));  
	for (i = 0; i< mat_point->height; i++)
	{
		data = (int *)(mat_point->data.ptr + i * mat_point->step);
		data[0] = RANDOM_X;
		data[1] = RANDOM_Y;
		data[2] = 1;
		if (data[0] < 200)
			data[3] = 1;
		else
			data[3] = -1;
	}

	mat_weight = cvCreateMat(1, 4, CV_64FC1);
	cvSetZero(mat_weight);

	return 0;
}

int release_data()
{
	cvReleaseMat(&mat_point);
	cvReleaseMat(&mat_weight);
	return 0;
}

计算：

int compute(int *point, double *weight)
{
	double sum =0.0;
	int i;
	for (i = 0; i < 3; ++i)
	{
		sum += point[i] * weight[i];
	}
	if(sum > 0.0)
		return 1;
	else
		return -1;
}

主函数：

int main()
{
	bool bLearningOK = false;
	int count = 0;
	int *point;
	double *weight;
	//感知器学习算法
	init_data();
	while(!bLearningOK)
	{
		bLearningOK = true;
		for (int i = 0 ; i < COUNT ; ++i)
		{
			point = (int *)(mat_point->data.ptr + mat_point->step * i);
			weight = mat_weight->data.db;
			int output = compute(point,weight);
			if(output!= point[3])
			{
				for(int w = 0 ; w <3 ; ++w)
				{
					weight[w] += alpha * point[3] * point[w];
				}
				bLearningOK = false;
			}
		}
		count++;
// 		cout<

效果图:

代码下载：http://download.csdn.net/detail/k_shmily/9598341

2.一次准则函数及梯度下降法

采用最优化技术求解线性判别函数中的增广权矢量时，首先构造准则函数，负梯度方向是函数下降最快的方向。
构造准则行数：\( J(w)=k( |w^T x| - w^T x)\) (k>0)
当 \(w^T x<0 \)时 J(w)>0
当 \(w^T x>=0 \)时 J(w)=0 \(J(w)\)有极小值 \(J_{min}(w)=0\)
准则函数的梯度：\( \bigtriangledown J(w) = \frac{\partial J }{\partial w } = \frac{1}{2} [x\, sng( w^T x)- x]\)
由梯度下降法，增广权矢量的修正迭代公式为
\(w(k+1) = w(k) - \rho_k \bigtriangledown J(w(k))\)
\(w(k+1) =\left\{\begin{matrix} k(x) & w^T (k)x_k > 0 \\ k(x)+\rho_k x_k & w^T (k)x_k <= 0, \rho_k>0 \end{matrix}\right. \)

3.感知器训练算法在多类问题中的应用

建立c个判别函数 \( d_i(x) = w_i^T x_i\)  (i=1,2,...c)
如果 \( x\in w_i\), 则有 \( w_i^T x> w_j^T x\,\,\,\,(\forall j\neq i)\)
具体步骤：
（1）初始化c个权矢量
（2）输入已知类别的增广训练模式，计算c个判别函数
（3）修正权矢量（对应样本的判别函数值为最大时，不用修正）