【机器学习】交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss）

在深度学习中，我们经常使用均方误差作为拟合任务的损失函数，使用交叉熵作为分类任务的损失函数。这篇文章主要介绍交叉熵损失函数以及它的几个变种。

Softmax激活函数

在介绍交叉熵损失函数之前，我们先来看看Softmax激活函数，一般我们会在输出层后加一层Softmax激活函数，用于得到分类概率。注意，请不要将Softmax叫做损失函数，它是激活函数，目的是将输出归一化。假设原始神经网络输出为$y_1,y_2,y_3,y_4\dots y_n$，那么经过Softmax激活函数后，输出为：
$$p_i=softmax(y_i)=\frac{e^{y_i}}{{\sum }_{j=1}^n{e}^{y_j}}$$
可见，Softmax激活函数的作用是将输出规范化到0~1之间，这样可以把$y_1,y_2,y_3,y_4\dots y_n$变成概率分布$p_1,p_2,p_3,p_4\dots p_n$，而且保证所有$p_i$之和为1，这样我们就可以得到这张图片在每个类别上的概率。
那么对于这么离散的输出分布，我们应该如何设计一个损失函数进行反向传播优化呢，这时候就诞生了：交叉熵损失函数。

交叉熵损失函数

我们假设神经网络最后一层的输出为y，经过softmax激活函数后输出为p，真实标签为t（one-hot编码），则交叉熵损失函数为：
$$Loss=-\sum _{i=1}^C(t_i\ast log(p_i))$$
上式中的C表示一共有C个分类。对于一个属于第j类的物体来说，除了$t_j=1$之外，其他$t$都为0（因为是one-hot编码）。假设一张图片属于第j类，那么损失函数将变为以下格式：
$$Loss=-log(p_j)$$
当$p_j$接近0时，Loss接近正无穷，当$p_j$接近1时，Loss接近0。使用梯度下降法，优化模型参数让Loss值下降，这时$p_j$就越来越接近1，也就是我们期望得到的优化结果，这就是交叉熵损失函数。

"目标VS非目标"的情况

这种情况其实是目标检测中常用的，而且是对单目标进行地检测，比如“人头检测”。因为在这种情况下只有一个分类，所以我们只需要识别出某个区域是“目标”或者是“背景”的概率。那么损失函数可以这样设计：
$$Loss=-log(y\ast p+(1-y)\ast (1-p))$$

其中，真实标签为y（用0代表背景，用1代表存在目标），模型预测输出为p。
当真实标签$y=0$时，原式为：$Loss=-log(1-p)$，那么当p趋近0时，Loss趋近0；当p趋近1时，Loss趋近正无穷，使用反向传播优化参数，使得p趋近0（也就是这种情况下真实标签y的值）。
当真实标签$y=1$时，原式变为：$Loss=-log(p)$，当p趋于0时，Loss趋于正无穷；当p趋于1时，Loss趋于1，使用反向传播优化参数，使得p趋近1（同样是这种情况下真实标签y的值）。

以上二者的区别

我们可以看到，交叉熵损失函数没有对标签为0的分类进行多余的计算，只计算了我们想要检测的那类物体对应的损失值；而第二种算法对标签为0的分类也计算了损失值，这样就可以通过反向传播优化标签为0的类别，也就是将背景的优化也考虑了进去。

结合两种算法的思想，我们可以对每一类对应的损失值都进行计算，然后取这些类别损失值的平均值作为最终的损失值：
$$Loss=-(\frac{1}{C})\ast \sum _{i=1}^{C}log(y_i\ast p_i+(1-y_i)\ast (1-p_i))$$
但是这样也有一个问题，就是当类别过多的时候，可能很难优化损失函数，也就是损失函数的值下不来。而且模型的注意力可能会被标签为0的类别吸引，而不会特别注意我们想要的那类，因为标签为0的类别贡献的损失值相加可能远大于标签为1的类别贡献的损失值，所以给不同类别分配一个权重可能会好一些，让标签为0的类别计算出的损失值权重小一些，让标签为1的类别计算出的损失值权重分配大一些。