确定性有限自动机

形式化定义

1. 我们用5元组 (Q,∑,δ,q0,F) ( Q , ∑ , δ , q 0 , F ) 定义确定性有限自动机

2. Q Q 是状态的有限集

3. ∑ ∑ 是字母表
4. δ δ 是转移函数，映射关系为 Q×∑→Q Q × ∑ → Q
5. q0 q 0 表示开始状态
6. F⊆Q F ⊆ Q 是accept状态集
7. 既然有了以上定义，接下来定义一个DFA M M accepts 字符串 w w ,其中： w=w1w2...wn,wi∈∑ w = w 1 w 2 . . . w n , w i ∈ ∑ , r0,r1,...,rn r 0 , r 1 , . . . , r n 是 Q Q 状态集元素的一个排列：
8. r0=q0 r 0 = q 0
9. δ(ri,wi+1)=ri+1,i=0,...,n−1 δ ( r i , w i + 1 ) = r i + 1 , i = 0 , . . . , n − 1
10. rn∈F r n ∈ F
11. A A 是一个包含所有有限自动机 M M accepts的字符串的集合，即 A={w∣M accepts w} A = { w ∣ M   a c c e p t s   w } ，那么 A A 就是 M M 的语言，记作 L(M)=A L ( M ) = A 。对此，我们称 M M recognizes A A 。注意:一个有限自动机可能会accepts很多字符串，但它只能recognizes一个语言。如果这个有限自动机不接受任何字符串，那它仍然recognizes一个语言，the empty language ∅ ∅ 。如果一个语言可以被某个有限自动机recognizes，那么这个语言被称为正则语言regular language。

正则语言的操作(regular operation)

设 A A 和 B B 都是正则语言
1. union并:

A∪B={x∣x∈A or x∈B} A ∪ B = { x ∣ x ∈ A   o r   x ∈ B }

2. concatenation 连接:

AºB={xy∣x∈A and y∈B} A º B = { x y ∣ x ∈ A   a n d   y ∈ B }

3. star:

A∗={x1x2...xk∣k≥0 and each xi∈A} A ∗ = { x 1 x 2 . . . x k ∣ k ≥ 0   a n d   e a c h   x i ∈ A }

以上三种regular operation都是封闭(closed)的。在另几篇文章中会证明封闭性。