NLMS算法

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1. 概述

  NLMS即归一化LMS（normalized LMS）算法，是LMS，点击此处学习LMS算法的改进版。

2. 算法描述

  NLMS算法描述为一下公式：
$$\mathbf{h}(n+1)=\mathbf{h}(n)+\mu (n)e(n)\mathbf{x}(n)\text{\hspace{1em}(1)}$$

  可以看出NLMS和LMS算法的不同之处在于步长：LMS算法中的步长为一个给定的常数，NLMS算法中的步长为一个随时间变化的量，且定义如下：
$$\mu (n)=\frac{\alpha }{M{P}_x(n)}\text{\hspace{1em}(2)}$$

  其中$M$为滤波器长度，$P_x(n)$是在$n$时刻估计出的信号的功率，即
$$P_x(n)=\frac{{\mathbf{x}}^T(n)\mathbf{x}(n)}{M}\text{\hspace{1em}(3)}$$

  为了使算法收敛，$\alpha$应该满足：
$$0<\alpha <2\text{\hspace{1em}(4)}$$

  实际中为了避免当$P_x(n)$过小时产生大的步长$\mu (n)$，可进一步进行修改：
$$\mu (n)=\frac{\alpha }{M{P}_x(n)+c}\text{\hspace{1em}(5)}$$

  其中$c$是一个很小的常数。

3. 总结

  NLMS是归一化的LMS算法，即乘积向量$e(n)\mathbf{x}(n)$相对于抽头输入向量的平方欧式范数进行了归一化，可把NLMS看做时变步长参数的LMS。无论对于不相关数据还是相关数据NLMS要比标准LMS可能呈现更快的收敛速度。

4. 参考文献

[1]《数字信号处理理论，算法与实现》(第三版) 作者：胡广书