Leetcode编程实践 - 分治算法（169/53/50）
通常，我们在做数据结构之外的题时会感觉比较吃力，此时就要考虑常见的分治和动态规划思想了（递归/迭代是其实现方式）。首先学一学分治！
一. 分治的理论
1.1 分治的思想
| 分治 | 自顶向下，分而治之（常用递归） |
|---|---|
| 分 | 将规模大的问题分解成较小规模的子问题 |
| 治 | 递归地求解子问题（若子问题规模足够小，停止递归进行求解） |
| 合 | 将子问题的解合并成原问题的解 |
1.2 典型场景 ☆
具体用法联想一下归并排序
1） 二分法或其变型
结题思路：折半折半查找缩小范围
易错点：移动到左右边界上如何处理
2）二叉树
结题思路：利用其左右子树
小窍门：分解为小问题的时候，要构建好Helper函数
二. 分治的应用
1. 多数元素
A）题目描述
169. Majority Element - Easy
给定一个大小为 n 的数组，找到其中的众数。众数是指在数组中出现次数大于 [n/2] 的元素。
假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在众数.
B）思路
首先想到两种直白解法：
- 用字典存储出现的次数 - 时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)
- 取数组排序后的中间元素 - 时间复杂度O(nlogn)，空间复杂度O(1)
如何减小时间复杂度？ 二分，不是有序或部分有序（貌似不太可行）
如何减小空间复杂度？ O(1) ？
记众数为target，它出现的次数为count。遍历数组，若遇到相同的则count+1；否则count-1，则最终count肯定>=1。（即多数元素和其他元素两两抵消，最后肯定还剩余至少1个）
可以用摩尔投票法
如何分治呢？
本题分治不是最优解法，但是也来应用一下分治思想吧~~
- 分治：将原数组切分成左右两区间
- 截止条件：只剩1个元素，直接返回
- 合：合并两区间的结果（若相同，直接返回；若不同，返回出现在数组中出现次数更多的一方）
C）代码
解法1 - 摩尔投票法
时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
class Solution(object):
def majorityElement(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
target = -1
count = 0
for num in nums:
if count == 0:
target = num
if num == target:
count += 1
else:
count -= 1
return target
解法2 - 分治
class Solution(object):
def majorityElement(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
if len(nums) == 1:
return nums[0]
left = self.majorityElement(nums[:len(nums)//2])
right = self.majorityElement(nums[len(nums)//2:])
if left == right or nums.count(left) > nums.count(right):
return left
return right
2. 最大子序和
A）题目描述
53. Maximum Subarray - Easy
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
B）思路
看到最大，最小关键词，联想DP
以第i个元素结尾的最大子序和dp[i]:dp[i+1] = max(dp[i]+nums[i+1], nums[i+1])
当然不用DP占空间也可以
如何分治呢？
- 分治：将原数组切分成左右两区间
- 截止条件：只剩1个元素，直接返回
- 合：合并两区间的结果（难点）
最大子序列和可能来自三个地方：只来自左区间，只来自右区间或肯定横跨两区间（要计算横跨两区间的和）
C）代码
解法1 - DP
时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
class Solution(object):
def maxSubArray(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
res = maxSum = float("-inf")
for num in nums:
maxSum = max(num, maxSum + num)
res = max(res, maxSum)
return res
解法2 - 分治
class Solution(object):
def maxSubArray(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
if len(nums) == 1:
return nums[0]
left = self.maxSubArray(nums[:len(nums)//2])
right = self.maxSubArray(nums[len(nums)//2:])
leftRes = nums[len(nums)//2-1]
leftSum = 0
for num in nums[:len(nums)//2][::-1]:
leftSum += num
leftRes = max(leftRes, leftSum)
rightRes = nums[len(nums)//2]
rightSum = 0
for num in nums[len(nums)//2:]:
rightSum += num
rightRes = max(rightRes, rightSum)
return max(leftRes + rightRes, left, right)
3. Pow(x, n)
A）题目描述
50. Pow(x, n) - Medium
实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。
B）思路
偷懒做法，直接return x**n
如何分治呢？
想到数学表达式
x\^n = x\^(n-1)*x
但是上面 - 每次n只能减1，太慢了。继续考虑数学表达式：当n是偶数时，有x\^n = (x\*x)\^(n//2)
- 分治：将n不断除以2
- 截止条件：n=1时直接返回x
- 合：n为偶数时 -
Pow(x, n) = Pow(x**x, n//2)，n为奇数时 -Pow(x, n) = Pow(x**x, n//2)
C）代码
分治
class Solution(object):
def myPow(self, x, n):
"""
:type x: float
:type n: int
:rtype: float
"""
if n == 0:
return 1
if n == 1:
return x
if n < 0:
return 1/self.myPow(x, -n)
if n % 2 == 0:
return self.myPow(x*x, n//2)
return x * self.myPow(x*x, n//2) # return x * self.myPow(x, n-1)
参考资料
Datawhale组队学习Leetcode编程实践