Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（24）— 摄像机标定与绝对二次曲线的图像

            摄像机标定与绝对二次曲线的图像

结论1：  摄像机标定矩阵 K K 是 x x 与在摄像机的欧氏坐标系下测量的射线方向 d=K−1x d = K − 1 x 之间的一个{仿射)变换。
结论2：  一条图像直线 l l 确定一张过摄像机中心的平面， 在摄像机的欧氏坐标系下，该平面的法线方向为 n=KTl n = K T l 。

绝对二次曲线的图像

   π∞ π ∞ 与图像平面之间的映射图平面单应 x=Hd x = H d 给出，其中:

H=KR H = K R

结论3：  绝对二次曲线的图像(简称IAC) 是二次曲线 ω=(KKT)−1=K−TK−1 ω = ( K K T ) − 1 = K − T K − 1

• 绝对二次曲线的对偶图像(简称DIAC) 为 ω∗=ω−1=KKT ω ∗ = ω − 1 = K K T

简单的标定

  装置有三个正方形(它们所在平面是不平行的，但也不必正交)的图像提供计算 K K 的足够约束。

• 对每个正方形，计算把它的角点 (0,0)T ( 0 , 0 ) T 、 (1,0)T ( 1 , 0 ) T 、 (0,1)T ( 0 , 1 ) T 、 (1,1)T ( 1 , 1 ) T 映射到相应的图像点的单应 H H 。
• 计算该正方形所在平面虚圆点的图像，即 H(1,±i,0)T H ( 1 , ± i , 0 ) T 。
• 由这六个虚圆点的图像拟合出一条二次曲线 ω ω 。
• 用Cholesky 分解由 ω=(KKT)−1 ω = ( K K T ) − 1 计算标定 K K 。

图像中的正变性

• 如果图像点关于 ω ω 共轭，即如果 xT1ωx2=0 x 1 T ω x 2 = 0 ,，那么这两个图像点对应于正交的方向。
• 假定直线 l l 反向投影到法线方向为 n n 的平面 π π ,那么法线的影像为点 Kn K n ， 而且直线 l l 是该点的极线， 因此 l=ωKn=(KKT)−1Kn=K−Tn l = ω K n = ( K K T ) − 1 K n = K − T n 。简言之， π π 的法线是 n=KTl n = K T l 。
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标定二次曲线

  绝对二次曲线的图像(IAC)是图像中一条虚二次曲线。为了可视化的目的，考虑与摄像机标定紧密相关的另外一种曲线，这样的二次曲线称为标定二次曲线，它是一个顶角为 45∘ 45 ∘ 而轴为摄像机主轴的圆锥面的图像。该圆锥面的点映射为二次曲线：

C=K−T⎛⎝⎜11−1⎞⎠⎟K−1 C = K − T ( 1 1 − 1 ) K − 1

正交性和标定二次曲线

结论4：  如果图像平面上的一条直线对应于垂直于图像点 x x 的射线的一个平面， 那么，这条直线是 x x 关于标定二次曲线的反射点 x˙ x ˙ 的极线 Cx˙ C x ˙ 。