完全背包问题状态转移方程解释

完全背包问题状态转移方程解释

这几天一直在看背包问题，看了很久才看懂完全背包问题O(VN)的算法的原理，在此记录，防止以后忘记
这是我在看了背包九讲后总结的一种思路

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完全背包问题有基本思路和改进后的O(VN)算法，这两个的状态转移方程基本都会出现在所有相关博客中

基本思路

类似于0-1背包问题，用f[i][v]表示前i种物品放入一个容量为v的背包的最大价值
状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<= v}

这应该容易理解，是在0-1背包问题的基础上得来的

O(VN)算法

用f[v]来表示把N种物品放入容量为v的背包所得的最大价值

伪代码如下：

for v = 0 ... V do f[v] = 0
for i = 1 ... N do
	for v = c[i] ... V do
		f[v] = max{f[v], f[v-c[i]] + w[i]}

一种思路

这个算法可以由前面的基本思路优化而来。
首先，基本思路的状态转移方程可以优化为：

f[i][v]=max{f[i-1][v], f[i][v - c[i]] + w[i]}

这是因为f[i][v - c[i]] + w[i] = max{f[i-1][v - c[i] - k*c[i]] + k*w[i]} | 0 <= k*c[i] <= v-c[i]
这可以由基本思路的状态转移方程得来。

有了这个式子后，就容易得出O(VN)算法了，只需把空间优化成一维即可。
另外，由于算出f[i][v]用到了第i行的值，即已被更新后的值，因此内循环要从c[i]开始遍历到V，与0-1背包问题顺序正好相反