曼哈顿距离转换到切比雪夫距离

定义

在平面内，

1. 欧几里得距离（$Euclidean Metric$）：$\sqrt {(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$.

2. 曼哈顿距离（$Manhattan Distance$）：$\sqrt {(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$.

3. 切比雪夫定理（$Chebyshev Distance$）：$max(|x_1-x_2|, |y_1-y_2|)$.

转换

这里只介绍曼哈顿距离转换成欧几里得距离，反过来是类似的。

定理：$(x_1, y_1)$ 与 $(x_2, y_2)$ 的曼哈顿距离等于 $(x_1-y_1, x_1+y_1)$ 与 $(x_2-y_2, x_2+y_2)$ 的切比雪夫距离。

1. 从几何意义

距原点曼哈顿距离为 $a$ 的点组组成了一个正方形：$(a,0),(0,a),(-a,0),(0,-a)$.

同样，距原点切比雪夫距离为 $a$ 的点也组成一个正方形：$(a,a),(-a,a),(-a,-a),(a,-a)$.

建立一个一一映射，即相当于将曼哈顿距离中的点逆时针旋转 $45$ 度，再扩大 $\sqrt 2$ 倍。

设点 $A(x,y)$，由旋转公式，${x}' = \sqrt 2(cos\theta\cdot  x - sin \theta\cdot y), \ {y}' = \sqrt 2(sin \theta \cdot x + cos \theta\cdot y)$，所以 ${A}'(x-y, x+y)$.

2. 从代数意义

 

 

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