现代控制理论3——系统动态方程的建立

注:本文是在MOOC平台上学习西北工业大学《现代控制理论基础》(郭建国、赵斌、郭宗易)的课程进行随笔记录与整理

一.系统动态方程的建立

列式要求:
1.选择可以测量的物理量作为状态变量
2.根据元件遵循的定律列写方程
常用例子:电路图、牛二定律系统

想直观表达动态方程的变量关系——状态变量图
将状态方程中每个一阶微分方程用图解表示
每个一阶微分方程右端各项之和构成状态变量的导数,经积分可得该状态变量

组成:仅包含积分器、加法器、臂力器
好处:便于计算机系统进行仿真
步骤:先画积分器,确定积分器两端的量
再根据等式关系,进行连接

基于传函方框图的动态方程

系统传递函数方框图:
现代控制理论3——系统动态方程的建立_第1张图片
系统状态变量图:
在这里插入图片描述
相比而言,状态变量图更能体现系统内部之间的关系,状态变量图可以直接写成系统动态方程
因此,有时需要将系统方框图化为状态变量图
依据:实数域下,一个n阶的传递函数可以分解为最低一阶或二阶传递函数的求和

基本一阶系统

在这里插入图片描述
化为:

在这里插入图片描述
系统动态方程:
x`=-ax+u
y=x

二阶系统

第一种:利用s`=s^2+a1s=s(s+a1)
在这里插入图片描述
得到包含一个一阶系统的结构图:
在这里插入图片描述
最后化为:
在这里插入图片描述

x1`=-a1x1+x2

x2`=-a0x1+u

y=x1

第二种:需要上下同时除以s^2进行构造
在这里插入图片描述
现代控制理论3——系统动态方程的建立_第2张图片
x1`=x2

x2`=-a0x1-a1x2+u
y=b0x1+b1x2

另外:某传函分子分母阶次一致,需要提出常数构造并联:
现代控制理论3——系统动态方程的建立_第3张图片
注意:
1.选取不同状态变量,会得到不同状态方程
2.一阶、二阶系统中常有常值增益,其位置也会影响到动态方程
3.二阶转化方法不同(串联不分前后),动态方程也会不同
4.反馈回路的方向和正向回路的方向不同

动态方程典型形式的建立

1**.能控规范形的动态方程:**
现代控制理论3——系统动态方程的建立_第4张图片

2.能观测规范形的动态方程:
现代控制理论3——系统动态方程的建立_第5张图片
3.对偶关系
能控规范形与能观测规范形之间存在的对偶关系
设能控规范形矩阵的下标为c
设能观测规范形矩阵的下标为o
在这里插入图片描述
例:
现代控制理论3——系统动态方程的建立_第6张图片
4.对角规范形
条件:D(s)=(s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)
即:G(s)可以分解为若干 c/(s-λ) 的和

此时有:x1`=λ1x1+u

x2`=λ2x2+u


xn`=λnxn+u
y=c1x1+c2x2+…cnxn其矩阵形式为:

现代控制理论3——系统动态方程的建立_第7张图片
说明:
1.在可以化为对角规范形的基础上如果还有相同实极点时,还可以化约当形
2.当G(s)分子分母幂次相同时,应用除法进行化简,提出常数,再应用前面的知识

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