LeetCode 编程练习（一）：分治算法

LeetCode 编程练习（一）：分治算法

引言

MapReduce（分治算法的应用） 是 Google 大数据处理的三驾马车之一，另外两个是 GFS 和 Bigtable。它在倒排索引、PageRank 计算、网页分析等搜索引擎相关的技术中都有大量的应用。
尽管开发一个 MapReduce 看起来很高深，感觉遥不可及。实际上，万变不离其宗，它的本质就是分治算法思想，分治算法。如何理解分治算法？为什么说 MapRedue 的本质就是分治算法呢？

分治的思想

分治算法的主要思想是将原问题递归地分成若干个子问题，直到子问题满足边界条件，停止递归。将子 问题逐个击破(一般是同种方法)，将已经解决的子问题合并后，算法会层层合并得到原问题的答案。

分治的适用条件

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

分治的基本步骤

分：递归地将问题分解为各个的子问题(性质相同的、相互独立的子问题)；
治：将这些规模更小的子问题逐个击破；
合：将已解决的子问题逐层合并，终得出原问题的解；

作业

169.多数元素

题目描述：给定一个大小为 n 的数组，找到其中的众数。众数是指在数组中出现次数大于 [n/2] 的元素。
你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在众数。

示例 1：
输入： [3,2,3]
输出： 3

示例 2：
输入： [2,2,1,1,1,2,2]
输出： 2

【解题思路】

确定切分的终止条件
直到所有的子问题都是长度为 1 的数组，停止切分。

准备数据，将大问题切分为小问题

递归地将原数组二分为左区间与右区间，直到最终的数组只剩下一个元素，将其返回
处理子问题得到子结果，并合并

    长度为 1 的子数组中唯一的数显然是众数，直接返回即可。
    如果它们的众数相同，那么显然这一段区间的众数是它们相同的值。
    如果他们的众数不同，比较两个众数在整个区间内出现的次数来决定该区间的众数

代码：

class Solution(object)：
    def majorityElement2(self, nums)：
       """
        ：type nums： List[int]
        ：rtype： int
        """
        # 【不断切分的终止条件】
        if not nums：
            return None
        if len(nums) == 1：
            return nums[0]
        # 【准备数据，并将大问题拆分为小问题】
        left = self.majorityElement(nums[：len(nums)//2])
        right = self.majorityElement(nums[len(nums)//2：])
        # 【处理子问题，得到子结果】
        # 【对子结果进行合并 得到最终结果】
        if left == right：
            return left
        if nums.count(left) > nums.count(right)：
            return left
        else：
            return right    

53.最大子序和

题目描述：给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例：
输入： [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出： 6
解释： 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大为6。

【解题思路】

确定切分的终止条件

直到所有的子问题都是长度为 1 的数组，停止切分。
准备数据，将大问题切分为小问题

递归地将原数组二分为左区间与右区间，直到最终的数组只剩下一个元素，将其返回
处理子问题得到子结果，并合并

    将数组切分为左右区间
    对与左区间：从右到左计算左边的最大子序和
    对与右区间：从左到右计算右边的最大子序和
    由于左右区间计算累加和的方向不一致，因此，左右区间直接合并相加之后就是整个区间的和
    最终返回左区间的元素、右区间的元素、以及整个区间(相对子问题)和的最大值

代码：

class Solution(object)：
    def maxSubArray(self, nums)：
        """
        ：type nums： List[int]
        ：rtype： int
        """
        # 【确定不断切分的终止条件】
        n = len(nums)
        if n == 1：
            return nums[0]

        # 【准备数据，并将大问题拆分为小的问题】
        left = self.maxSubArray(nums[：len(nums)//2])
        right = self.maxSubArray(nums[len(nums)//2：])

        # 【处理小问题，得到子结果】
        #　从右到左计算左边的最大子序和
        max_l = nums[len(nums)//2 -1] # max_l为该数组的最右边的元素
        tmp = 0 # tmp用来记录连续子数组的和
        
        for i in range( len(nums)//2-1 , -1 , -1 )：# 从右到左遍历数组的元素
            tmp += nums[i]
            max_l = max(tmp ,max_l)
            
        # 从左到右计算右边的最大子序和
        max_r = nums[len(nums)//2]
        tmp = 0
        for i in range(len(nums)//2,len(nums))：
            tmp += nums[i]
            max_r = max(tmp,max_r)
            
        # 【对子结果进行合并 得到最终结果】
        # 返回三个中的最大值
        return max(left,right,max_l+ max_r)

50.Pow(x, n)

题目描述：实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。

示例 1：
输入： 2.00000, 10
输出： 1024.00000

示例 2：
输入： 2.10000, 3
输出： 9.26100

示例 3：
输入： 2.00000, -2
输出： 0.25000
解释： 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

【说明】

100.0 < x < 100.0 n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2^{31}, 2^{31} − 1] 。

【解题思路】

确定切分的终止条件

对n不断除以2，并更新n，直到为0，终止切分
准备数据，将大问题切分为小问题

对n不断除以2，更新
处理子问题得到子结果，并合并

    x与自身相乘更新x
    如果n%2 ==1
    将p乘以x之后赋值给p(初始值为1)，返回p

代码：

class Solution(object)：
    def myPow(self, x, n)：
        """
        ：type x： float
        ：type n： int
        ：rtype： float
        """
        # 处理n为负的情况
        if n < 0 ：
            x = 1/x
            n = -n
        # 【确定不断切分的终止条件】
        if n == 0 ：
            return 1

        # 【准备数据，并将大问题拆分为小的问题】
        if n%2 ==1：
          # 【处理小问题，得到子结果】
          p = x * self.myPow(x,n-1)# 【对子结果进行合并 得到最终结果】
          return p
        return self.myPow(x*x,n/2)  

本博客内容来源于Datawhale团队leetcode教程，对此表示感谢。