【线性系统】四、状态空间的解法和实现（2）——线性时变方程的解法和实现

关键词：基础矩阵、状态转移矩阵

有线性时变系统：
（1）

（2）

 的解是 。但是不能拓展到矩阵。

假设对于每个初始状态和状态方程都有唯一的解。

的解与LTI的解不同。所以要找出另一种解法。

 

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解法

考虑到（3），是一个的的连续函数。对于每个初始状态都有唯一解，这里。设 ， 为一个阶方阵。

有（4）

例一：

 （5）或者 

解：，

       

因此：取两个线性独立的初始状态

因此有 （6）为基础矩阵。

定理：让为的基础矩阵，那么

 被称为状态转移矩阵。

状态转移矩阵同时是（7）初始条件为 的唯一解。

因为对所有的非奇异，所以有逆矩阵。

状态转移矩阵的性质：

• （8）
• （9）
• （10）

例二：

例一中得到的基础矩阵：

其逆矩阵为：

因此，它的状态转移矩阵为：

显然，转移矩阵满足以上（8）（9）（10）三条性质。

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