2020牛客暑期多校训练营（第二场）F.Fake Maxpooling

2020牛客暑期多校训练营（第二场）F.Fake Maxpooling

题目链接

题目描述

Given a matrix of size $n\times m$ and an integer $k$, where $A_{i,j}=lcm(i,j)$
​ , the least common multiple of $i$ and $j$. You should determine the sum of the maximums among all $k\times k$ submatrices.

输入描述:

Only one line containing three integers $n,m,k(1\le n,m\le 5000,1\le k\le \min \{n,m\})$.
输出描述:
Only one line containing one integer, denoting the answer.

示例1

输入

3 4 2

输出

38

比较灵活的一道题，我写了三种方法，喜欢哪一种可以自己看
法一：正解：单调队列，复杂度接近 O(m*n)，gcd 函数最好自己写一个，AC代码如下：

#include
using namespace std;
const int N=5e3+5;
typedef long long ll;
int a[N][N],b[N][N];
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
    int n,m,k;
    ll ans=0;
    deque<int>q;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            a[i][j]=i*j/gcd(i,j);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        q.clear();
        for(int j=1;j<=m;j++){
            while(q.size()&&q.front()<=j-k) q.pop_front();//队头的下标超出k个就弹出
            while(q.size()&&a[i][q.back()]<=a[i][j]) q.pop_back();
            q.push_back(j);
            b[i][j]=max(b[i][j],a[i][q.front()]);
        }
    }
    for(int j=k;j<=m;j++){
        q.clear();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(q.size()&&q.front()<=i-k) q.pop_front();
            while(q.size()&&b[q.back()][j]<=b[i][j]) q.pop_back();
            q.push_back(i);
            if(i>=k) ans+=b[q.front()][j];
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

法二：混子 DP，打表可以发现最大值就在点的周围，可以直接进行混子 DP，AC代码如下：

#include
using namespace std;
const int N=5e3+5;
typedef long long ll;
int dp[N][N];
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
    int n,m,k;
    ll ans=0;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            dp[i][j]=i*j/gcd(i,j);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(k!=1) dp[i][j]=max({dp[i][j],dp[i-1][j],dp[i][j-1]});
            else dp[i][j]=dp[i][j];
            if(i>=k&&j>=k) ans+=dp[i][j];
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

法三：DFS，从该点位置往左上角 DFS 找最大值即可，时间复杂度其实和法二一样，这种方法可以优化一下，就是当 $gcd(i,j)=1$ 时可以直接加上 $i\ast j$，此时一定是最大值，可以打表验证，AC代码如下：

#include
using namespace std;
const int N=5e3+5;
typedef long long ll;
int dp[N][N];
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int dfs(int x,int y){
    int a,b;
    if(gcd(x,y)==1) return x*y;
    else{
        a=dfs(x-1,y);
        b=dfs(x,y-1);
    }
    return max(a,b);
}
int main(){
    int n,m,k;
    ll ans=0;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=k;i<=n;i++){
        for(int j=k;j<=m;j++){
            if(k==1) ans+=(i*j)/gcd(i,j);
            else ans+=dfs(i,j);
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}