哈夫曼树构造算法的正确性证明

哈夫曼树构造

1．哈夫曼树的定义

    给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。

2．哈夫曼树的构造

    假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1,w2,…,wn,则哈夫曼树的构造规则为：

(1) 将w1,w2,…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；

(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为我们所求得的哈夫曼树。

    下面给出哈夫曼树的构造过程，假设给定的叶子结点的权分别为1,5,7,3，则构造哈夫曼树过程如图所示。 从图中可知，n 个权值构造哈夫曼树需n-1次合并，每次合并，森林中的树数目减1，最后森林中只剩下一棵树，即为我们求得的哈夫曼树。

哈夫曼构造正确性证明。

如上图，WPL值为3×（1+3）+2×5+1×7=29.

事实上WPL值也是所有非叶子节点的和，即4+9+16=29.

这是可以证明的。

从最底层开始计算，最底层的2个叶节点的根结点的值为叶节点的和，每个根结点都为叶节点的和，也就是说，每个非叶节点的值都是它底下所有的叶节点的和。比如16=1+3+5+7，9=1+3+5。因此把4,9,16这些节点加起来，就相当于底层节点1,3加了3遍，5加了2遍，7加了1遍。即每个值加的遍数就是该值的深度。

又因为根据算法，n个叶子节点所组成的一个集合，每次取走2个最小节点，再加入一个节点，直到只剩下最后一个节点。因此，新生成的叶子非叶子节点个数必定是n-1个。因此要保证WPL值最小，也就是保证生产的非叶子节点和最小，即生成的节点和值最小。因此每次生成的节点取最小值，即可保证，总的和值是最小的。即WPL值也是最小的。