[数字图像处理]灰度变换——反转，对数变换，伽马变换，灰度拉伸，灰度切割，位图切割

灰度变换，属于一个非常重要的概念。这里主要参考《Digital Image Processing》 Rafael C. Gonzalez / Richard E. Woods 的第三章。书中所有的实验与数学式都采用了8-bit 图像的灰度范围，也就是0到255这样一个范围，这是本书不合理的一个地方。首先，这样做并不泛用，图片不一定是8-bit的。其次，在做某些变换的时候，可能会导致溢出。比如，伽马变化，假设伽马值为2，那么灰度为255的像素点，其变换之后值为65025，这里就溢出了。当然，要是使用Matlab计算，肯定会处理的非常好，直接使用mat2gray函数就能将其压缩回0到255。但是要是其他嵌入式平台处理的时候，直接套用不方便不说，直接按照8-bit的图来理解很不直观。因此，我将数学式做了改变，让其输入为0到1的浮点数，其输出也是0到1的浮点数，这样方便理解。

      本文所使用的图片，均来源于《Digital Image Processing》的主页 http://www.imageprocessingplace.com/

       图像反转

       图像反转，这个翻译还是很不恰当的。这里应该理解为负片变换，负片变换如下所示。

负片变换，主要用于观察过黑的图片，负片变换之后，方便观察。很简单的变换。

       对数变换

       对数变换主要用于将图像的低灰度值部分扩展，将其高灰度值部分压缩，以达到强调图像低灰度部分的目的。变换方法由下式给出。

这里的对数变换，底数为，实际计算的时候，需要用换底公式。其输入为，其输出也为。对于不同的底数，其对应的变换曲线如下图所示。

底数越大，对低灰度部分的强调就越强，对高灰度部分的压缩也就越强。相反的，如果想强调高灰度部分，则用反对数函数就可以了。看下面的实验就可以很直观的理解，下图是某图像的二维傅里叶变换图像，其为了使其灰度部分较为明显，一般都会使用灰度变换处理一下。

       实现对数变换的Matlab代码如下：

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1. close all;  
2. clear all;  
3.   
4. %% -------------Log Transformations-----------------  
5. f = imread('DFT_no_log.tif');  
6. f = mat2gray(f,[0 255]);  
7.   
8. v = 10;  
9. g_1 = log2(1 + v*f)/log2(v+1);  
10.   
11. v = 30;  
12. g_2 = log2(1 + v*f)/log2(v+1);  
13.   
14. v = 200;  
15. g_3 = log2(1 + v*f)/log2(v+1);  
16.   
17. figure();  
18. subplot(1,2,1);  
19. imshow(f,[0 1]);  
20. xlabel('a).Original Image');  
21. subplot(1,2,2);  
22. imshow(g_1,[0 1]);  
23. xlabel('b).Log Transformations v=10');  
24.   
25. figure();  
26. subplot(1,2,1);  
27. imshow(g_2,[0 1]);  
28. xlabel('c).Log Transformations v=100');  
29.   
30. subplot(1,2,2);  
31. imshow(g_3,[0 1]);  
32. xlabel('d).Log Transformations v=200');  

       伽马变换

       伽马变换主要用于图像的校正，将漂白的图片或者是过黑的图片，进行修正。伽马变换也常常用于显示屏的校正，这是一个非常常用的变换。其变化所用数学式如下所示，

其输入为，其输出也为。对于不同的伽马值，其对应的变换曲线如下图所示。

和对数变换一样，伽马变换可以强调图像的某个部分。根据下面两个实验，可以看出伽马变换的作用。

       实验1：

其实现Matlab代码为：

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1. close all;  
2. clear all;  
3.   
4. %% -------------Gamma Transformations-----------------  
5. f = imread('fractured_spine.tif');  
6. f = mat2gray(f,[0 255]);  
7.   
8. C = 1;  
9. Gamma = 0.4;  
10. g2 = C*(f.^Gamma);  
11.   
12. figure();  
13. subplot(1,2,1);  
14. imshow(f,[0 1]);  
15. xlabel('a).Original Image');  
16.   
17. subplot(1,2,2);  
18. imshow(g2,[0 1]);  
19. xlabel('b).Gamma Transformations \gamma = 0.4');  

       实验2：

       灰度拉伸

       灰度拉伸也用于强调图像的某个部分，与伽马变换与对数变换不同的是，灰度拉升可以改善图像的动态范围。可以将原来低对比度的图像拉伸为高对比度图像。实现灰度拉升的方法很多，其中最简单的一种就是线性拉伸。而这里介绍的方法稍微复杂一些。灰度拉伸所用数学式如下所示。

同样的，其输入为，其输出也为。这个式子再熟悉不过了，跟巴特沃斯高通滤波器像极了，其输入输出关系也大致能猜到是个什么形状的。但是，这里就出现一个问题了，输入为0时候，式子无意义了。所以，在用Matlab计算的时候，将其变为如下形式。

这里的eps，就是Matlab里面，一个很小数。如此做的话，式子变得有意义了。但是，其输入范围为的时候，其输出范围变为了。输出范围大致为，为了精确起见，使用mat2gray函数将其扩展到精确的。调用格式如下。

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1. g = mat2gray(g,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);  

       输入输出问题解决了，还有一个问题，参数的决定。这里有两个参数，一个是m（相对于巴特沃斯高通滤波器而言，这个是截止频率），一个是E（相对于巴特沃斯高通滤波器而言，这个是滤波器次数）。m可以控制变换曲线的重心，E则可以控制曲线的斜率，如下图所示。

m值的可取图像灰度分布的中央值，如下式所示，

       决定m之后，接下来就只剩E了。灰度拉升的目的就是扩展图片的动态范围，我们想将原本灰度范围是的图像变换到内。那么，就直接取最大值与最小值，带入式子，解出E就可以了。但是，如之前所说的，我们所用的式子的的输出范围达不到，而且，直接取的范围，会造成E非常大，从而变换曲线的斜率非常大，灰度扩展的结果并不是很好。所以，这里退一步，取的输出范围是。E的取值，如下所示。

       实验：

       从直方图看，原图的灰度范围确实被拉伸了。用上面所说的方法，确定的灰度拉伸的输入输出曲线如下图所示。

      其Matlab代码如下：

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1. close all;  
2. clear all;  
3.   
4. %% -------------Contrast Stretching-----------------  
5. f = imread('washed_out_pollen_image.tif');  
6. %f = imread('einstein_orig.tif');  
7. f = mat2gray(f,[0 255]);  
8.   
9. [M,N] = size(f);  
10. g = zeros(M,N);  
11.   
12. Min_f = min(min(f));  
13. Max_f = max(max(f));  
14. m = (Min_f + Max_f)/2;  
15.   
16. Out_put_min = 0.05;  
17. Out_put_max = 0.95;  
18.   
19. E_1 = log(1/Out_put_min - 1)/log(m/(Min_f+eps));  
20. E_2 = log(1/Out_put_max - 1)/log(m/(Max_f+eps));  
21. E = ceil(min(E_1,E_2)-1);  
22.   
23. g = 1 ./(1 + (m ./ (f+ eps)).^E);  
24. g = mat2gray(g,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);  
25.   
26. figure();  
27. subplot(2,2,1);  
28. imshow(f,[0 1]);  
29. xlabel('a).Original Image');  
30.   
31. subplot(2,2,2);  
32. r = imhist(f)/(M*N);  
33. bar(0:1/255:1,r);  
34. axis([0 1 0 max(r)]);  
35. xlabel('b).The Histogram of a');  
36. ylabel('Number of pixels');  
37.   
38. subplot(2,2,3);  
39. imshow(g,[0 1]);  
40. xlabel('c).Results of Contrast stretching');  
41.   
42. subplot(2,2,4);  
43. s = imhist(g)/(M*N);  
44. bar(0:1/255:1,s);  
45. axis([0 1 0 max(s)]);  
46. xlabel('b).The Histogram of a');  
47. ylabel('Number of pixels');  
48.   
49. in_put = 0:1/255:1;  
50. Out_put1 = 1 ./(1 + (m ./ (double(in_put)+ eps)).^E);  
51. Out_put1 = mat2gray(Out_put1,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);  
52.   
53. figure();  
54. plot(in_put,Out_put1);  
55. axis([0,1,0,1]),grid;  
56. axis square;  
57. xlabel('Input intensity level');  
58. ylabel('Onput intensity level');  

       灰度切割

       灰度切割也是一个很简单，但也很实用的变换。灰度切割，主要用于强调图像的某一部份，将这个部分赋为一个较高的灰度值，其变换对应关系如下所示。

灰度切割有以上两种方法，一种是特定灰度值的部分赋值为一个较高的灰度值，其余部分为一个较低的灰度值。这样的方法，得到的结果是一个二值化图像。另外一种方法，则是仅仅强调部分赋值为一个较高的灰度值，其余的部分不变。

       实验：

       位图切割

       位图切割，就是按照图像的位，将图像分层处理。若图像的某个像素，其bit7为1，则在位面7这个像素值为1，反之则为0。

       实验：

       由位图切割的结果，图像的主要信息包含在了高4位。仅仅靠高4位，还原的图像更原图基本差不多。由此可见，位图切割主要用于图像压缩。