《数字图像处理》——ch4频率域滤波（2.频率域滤波）

版权声明：以下图片截取自《数字图像处理》冈萨雷斯 一书中。

1.频率域滤波基础

1.基础知识
变化最慢的频率分量（u=v=0）与图像的平均灰度成正比；当我们远离变换的原点是，低频对应于图像中变化缓慢的灰度分量。变换幅度(谱)和相角。
频率域滤波：修改一幅图像的傅里叶变换、然后计算其反变换得到处理后的结果；其基本滤波公式如下（中心化）：

变换中的低频：与图像中缓慢变化的灰度分量有关（室内的墙面和室外少云的天空等）；
变换中的高频：由灰度的尖锐过渡造成（边缘和噪声等）。
低通滤波器（衰减高频而通过低频）：模糊一幅图像；
高通滤波器（衰减低频而通过高频）：增强尖锐的细节，但将导致图像对比度的降低。
DFT是复数阵列，可以将它表示为实部和虚部：

零相移滤波器：等同地影响实部和虚部而不影响相位的滤波器。
频率域滤波步骤：


2.空间滤波和频率域滤波
空间域和频率域滤波间的纽带：卷积定理。
给定一个空间滤波器，可以用该空间滤波器的傅里叶正变换得到其平吕与表示（傅里叶变换对）：

高斯滤波器：
一个高斯函数的正、反傅里叶变换都是实高斯函数。
一维频率域高斯滤波器：

使用一个全部带正系数的模板就可以在空间域中实现低通滤波；
滤波器宽度间的互易关系：频率域滤波器越窄，其衰减的低频越多，引起的模糊越大；在空间域，必须使用较大的模板来增加模糊。

2.使用频率域滤波器平滑图像

低通滤波器：一幅图像中的边缘和其他尖锐的灰度转变（如，噪声）对其DFT的高频内容有贡献；因此，在频率域平滑（模糊）可通过对高频的衰减来达到。
1.理想低通滤波器（ILPF）
其公式如下：

其图示如下：

功率表示：

2.布特沃斯低通滤波器（BLPF）
n阶布特沃斯低通滤波器：
当阶数较高时，BLPF接近于理想滤波器；对于较低的阶数值，BLPF更像高斯滤波器。

在空间域的一阶布特沃斯滤波没有振铃现象；在二阶滤波器中，振铃现象通常很难察觉，但更高阶的滤波器中振铃现象会很明显。
二阶的BLPF是在有效的低通滤波和可接受的振铃特性之间的好的折中。

3.高斯低通滤波器（GLPF）
二维高斯滤波器：

GLPF的傅里叶反变换也是高斯的，这意味着通过计算式(4.8-6)和式(4.8-7)的IDFT得到的空间高斯滤波器将没有振铃。
二维GLPF的图示如下：

4.小结
表4.4：三类低通滤波器

3.使用频率域滤波器锐化图像

边缘和其他灰度的急剧变化与高频分量有关，所以图像的锐化可在频率域通过高通滤波来实现；高通滤波会衰减DFT中的低频分量而不会扰乱高频信息。

1.理想高通滤波器（IHPF）、布特沃斯高通滤波器（BHPF）、高斯高通滤波器（GFHPF）
IHPF：

BHPF：

GHPF：

图示：
2.频率域的拉普拉斯算子
拉普拉斯算子在频率域的滤波实现：

其中，c=-1，因为H(u，v）时负的。

3.同态滤波
关键：照射分量和反射分量的分离；

照射分量——慢的变化空间——DFT的低频；
反射分量——突变、边缘信息——DFT的高频；

同态滤波用于控制照射分量和反射分量：

4.选择性滤波

1.带阻滤波器和带通滤波器
兴趣：处理指定的频段或频率矩形的小区域。
D0：带宽的径向中心；
W：带宽。
带阻滤波器：

带通滤波器：

2.陷波滤波器
陷波滤波器：拒绝（或通过）事先定义的关于频率矩形中心的一个领域的频率（更有用的选择性滤波器）。
陷波带阻滤波器：用中心已被平移到陷波滤波器中心的高通滤波器的乘积来构造。一般形式如下：

陷波带通滤波器：

5.实现

1.二维DFT的可分性
f(x，y）的二维DFT可通过计算f(x，y）的每一行的一维变换，然后，沿着计算结果的每一列计算一维变换来得到。

2.用DFT算法来计算IDFT