旋转机械振动的基本特性分析
一、转子振动的基本特性
旋转机械的主要部件是转子，其结构型式虽然多种多样，但对一些简单的旋转机械来说，为分析和计算方便，一般都将转子的力学模型简化为一圆盘装在一无质量的弹性转轴上，转轴两端由刚性的轴承及轴承座支承。该模型称为刚性支承的转子，对它进行分析计算所得到的概念和结论用于简单的旋转机械是适用的。由于做了上述种种简化，若把得到的分析结果用于较为复杂的旋转机械时不够精确，但基本上能够说明转子振动的基本特性。
大多数情况下，旋转机械的转子轴心线是水平的，转子的两个支承点在同一水平线上。设转子上的圆盘位于转子两支点的中央，当转子静止时，由于圆盘的重量使转子轴弯曲变形产生静挠度，即静变形。此时，由于静变形较小，对转子运动的影响不显著，可以忽略不计，即认为圆盘的几何中心O′与轴线AB上O点相重合，如图1-1所示。转子开始转动后，由于离心力的作用，转子产生动挠度。此时，转子有两种运动：一种是转子的自身转，即圆盘绕其轴线AO′B的转动；另一种是弓形转动，即弯曲的轴心线AO′B与轴承联线AOB组成的平面绕AB轴线的转动。
图1-1 单圆盘转子
圆盘的质量以m表示，它所受的力是转子的弹性力F
F=-ka （1-1）
式中，k为转子的刚度系数，a=OO′。圆盘的运动微分方程为
(1-2)
令 (1-3)
则 (1-4)
式中，X、Y为振动幅度；φx、φy为相位。
由（1-4）式可知，圆盘或转子的中心O′，在互相垂直的两个方向作频率为ωn 的简谐振动。在一般情况下，振幅X、Y不相等，O′点的轨迹为一椭圆。O′的这种运动是一种“涡动”或称“进动”。转子的涡动方向与转子的转动角速度ω同向时，称为正进动；与ω反方向时，称为反进动。
二、临界转速及其影响因素
随着机器转动速度的逐步提高，在大量生产实践中人们觉察到，当转子转速达到某一数值后，振动就大得使机组无法继续工作，似乎有一道不可逾越的速度屏障，即所谓临界转速。 Jeffcott用一个对称的单转子模型在理论上分析了这一现象，证明只要在振幅还未上升到危险程度时，迅速提高转速，越过临界转速点后，转子振幅会降下来。换句话说，转子在高速区存在着一个稳定的、振幅较小的、可以工作的区域。从此，旋转机械的设计、运行进入了一个新时期，效率高、重量轻的高速转子日益普遍。需要说明的是，从严格意义上讲，临界转速的值并不等于转子的固有频率，而且在临界转速时发生的剧烈振动与共振是不同的物理现象。
1.转子的临界转速
如果圆盘的质心G与转轴中心O′不重合，设e为圆盘的偏心距离，即O′G＝e，如图1-2所示，当圆盘以角速度ω转动时，质心G的加速度在坐标上的位置为
图1-2 圆盘质心位置
(1-5)
参考式（1-2），则轴心O′的运动微分方程为
(1-6)
令 则：(1-7)
式（1-7）中右边是不平衡质量所产生的激振力。令Z=x＋iy，则式（1-7）的复变量形式为：
(1-8)
其特解为 (1-9)
代入式（1-8)后，可求得振幅
(1-10)
由于不平衡质量造成圆盘或转轴振动响应的放大因子β为
(1-11)
由式(1-8)和式(1-11)可知，轴心O′的响应频率和偏心质量产生的激振力频率相同，而相位也相同（ω＜ω。时）或相差180°（ω＞ω。时）。这表明，圆盘转动时，图1-2的O、O′和G三点始终在同一直线上。这直线绕过O点而垂直于OX Y平面的轴以角速度。转动。O′点和G点作同步进动，两者的轨迹是半径不相等的同心圆，这是正常运转的情况。如果在某瞬时，转轴受一横向冲击，则圆盘中心O′同时有自然振动和强迫振动，其合成的运动是比较复杂的。O、O′和G三点不在同一直线上，而且涡动频率与转动角度不相等。实际上由于有外阻力作用，涡动是衰减的。经过一段时间，转子将恢复其正常的同步进动。
在正常运转的情况下，由式(1-10)可知：
(1）ω≤ωn时，A＞0，O′点和G点在O点的同一侧，如图1-3（a）所示；
(2）ω＞ωn 时，A＜0，但A＞e ，G在O和O′点之间，如图1-3（c）所示；
当ω≥ωn 时，A≈-e，或OO′≈-O′G，圆盘的质心G近似地落在固定点O，振动很小，转动反而比较平稳。这种情况称为“自动对心”。
图1-3 转子质心的相位变化
(3)当ω＝ωn时，A→∞，是共振情况。实际上由于存在阻尼，振幅A不是无穷大而是较大的有限值，转轴的振动非常剧烈，以致有可能断裂。ωn称为转轴的“临界角速度”；与其对应的每分钟的转数则称为“临界转速”，以nc表示，即
如果机器的工作转速小于临界转速，则称为刚性轴；如果工作转速高于临界转速，则称为柔性轴。由上面分析可知，具有柔性轴的旋转机器运转时较为平稳。但在启动过程中，要经过临界转速。如果缓慢启动，则经过临界转速时会发生剧烈的振动。
研究不平衡响应时如果考虑外阻尼力的作用（参见图1-14)，则式(1-6)变为：
（1-12）
令Z=x＋iy，则上式的复变量形式为：
其特解为：
由此解得： （1-14）
式中
若令
则式(1-14)可进一步写作：（1-15）
这时的放大因子β为：
式(1-15)中振幅「A」与相位差φ随转动角速度与固有频率的比值λ＝ω／ωn 改变的曲线，即幅值频响应曲线和相频响应曲线如图1-4所示。
图1-4 幅频响应与相频响应曲线
从图1-4中可以看出，由于外阻尼的存在，转子中心O′对不平衡质量的响应在ω＝ωn时不是无穷大而是有限值，而且不是最大值。最大值发生在ω＞ωn的时候。对于实际的转子系统，把出现这最大值时的转速作为临界转速，在升速或降速过程中，用测量响应的办法来确定转子的临界转速，所得数据在升速时略大于前面所定义的临界转速n。，而在降速时则略小于nc。
2.影响临界转速的因素
图1-5 转子系统中的陀螺力矩
(1)回转力矩对转子临界转速的影响
如图1-5所示，当转子上的圆盘不是安装在两支承的中点而是偏于一侧时，转轴变形后，圆盘的轴线与两支点A和B的连线有夹角θ。设圆盘的自转角速度为ω，转动惯量为Jp，则圆盘对质心O′的动量矩为它与轴线AB的夹角也应该是θ，当转轴有自然振动时，设其频率为ωn。由于进动，圆盘的动量矩L将不断改变方向，因此有惯性力矩
（1-16）
方向与平面0′AB垂直，大小为 （1-17）
因夹角θ较小，sinθ≈θ，故 （1-18）
这一惯性力矩称为回转力矩或陀螺力矩，它是圆盘加于转轴的力矩，与θ成正比，相当于弹性力矩。在正进动（0＜θ＜π/2）的情况下，它使转轴的变形减小，因而提高了转轴的弹性刚度，即提高了转子的临界角速度。在反进动（π/2＜θ＜π）的情况下，它使转轴的变形增大，从而降低了转轴的弹性刚度，即降低了转子的临界角速度。故陀螺力矩对转子临界转速的影响是：正进动时，它提高了临界转速；反进动时，它降低了临界转速。
(2)臂长附加力矩对转子刚度的影响
对较长的柔性转子，不平衡质量离心力作用点与转子和轴的连接点可能不重合而有一定臂长，与较短的转子相比，连接点处由同等离心力所产生的挠度将不一样，因为此时在计算连接点处的挠度时，要将力进行移位，而添加的等效力矩将改变轴的变形。分析表明，这种影响会使轴的挠度和转角增大，从而降低轴的临界转速（对柔性转子有利）。
(3)弹性支承对转子临界转速的影响
图1-6 弹性支承转子系统
只有在支承完全不变形的条件下，支点才会在转子运动时保持不动。实际上，支承不可能是绝对刚性不变形的，因而考虑支承的弹性变形时，支承就相当于弹簧与弹性转轴相串联，如图1-6所示。
支承与弹性转轴串联后，其总的弹性刚度要低于转轴本身的弹性刚度。因此，弹性支承可使转子的进动角速度或临界转速降低。在实际工程中表现为，减小支承刚度可以使临界转速显著降低。
(4)组合转子对临界转速的影响
转子系统经常是由多个转子组合而成的，例如在汽轮发电机组中，有高、中、低压汽轮机转子、发电机和励磁机转子等。每个转子都有其自身的临界转速，组合成一个多跨转子系统后，整个组合转子系统也有其自身的临界转速。组合转子与单个转子的临界转速间既有区别又有联系，其间存在一定规律。如果各单个转子是由不同制造厂生产的，那么当制造厂给出各单个转子的临界转速后，利用这一规律，就可以估计组合后转子临界转速的分布情况。此外也可估算出在组合转子的每一阶主振型中，哪一个转子的振动特别显著。
图1-7 组合转子系统
图1-7（a)为A、B两个系统，图(b)为将其刚性连接。
理论推导证明，组合系统中各转子的各阶临界角速度，总是高于原系统相应的各阶临界角速度。如图1-8所示。
图1-8 组合系统的临界角速度
三、转子轴承系统的稳定性
转子轴承系统的稳定性是指转子在受到某种扰动后能否随时间的推移而恢复原来状态的能力，也就是说扰动响应能否随时间增加而消失。如果响应随时间增加而消失，则转子系统是稳定的，若响应随时间增加不消失，则转子系统就失稳了。
造成机组失稳的情况很多，如动压轴承失稳、密封失稳、动静摩擦失稳等，而失稳又具有突发性，往往带来严重危害。因此，设备故障诊断人员应对所诊断的机组的稳定性能做到心中有数，一旦发现失稳症兆，应及时采取措施防止其发展。
图1-9 衰减自由振动
比较典型的失稳是油膜涡动。在瓦隙较大的情况下，转子常会因不平衡等原因而偏离其转动中心，致使油膜合力与载荷不能平衡，引起油膜涡动。机组的稳定性在很大程度上决定于滑动轴承的刚度和阻尼。当具有正阻尼时系统具有抑制作用，涡动逐步减弱；反之当具有负阻尼时，系统本身具有激振作用，油膜涡动就会发展为油膜振荡；在系统具有的阻尼为零时，则处于稳定临界状态。
在工程实践中，常常采用对数衰减率来判断系统的稳定性。对数衰减值是转子做衰减自由振动时，相邻振幅之比的对数值，如图1-9所示：
（1-19）
式中，； c为阻尼系数；m为系统质量；ωd为衰减自由振动的频率。
δ大的系统，对于激励的响应会较快地使之衰减，系统稳定，如δ＜0，说明系统有负阻尼，系统会自激。
四、多盘转子
图1-10 多盘转子常见振型
实际应用中，转子上可能装配有多个叶轮，这就与前面介绍的单盘转子有所不同，称为多盘转子。在此仅介绍多盘转子的振型问题。一个弹性体可以看成是由无数多个质点组成的，各质点之间采用弹性连接，只要满足连续性条件，各质点的微小位移都是可能的，因此一个弹性体有无限多个自由度，而每个质点都有可能产生共振形成共振峰。就转子而言，转子结构的每个共振峰均伴随着一个振动模态形式，称之为振型。当激振频率与模态之一吻合时，结构的振动形式会形成驻波。激振频率不同驻波形式也不同，如图1-10所示分别为一阶、二阶、三阶驻波，其中振值为零的部位称为节点。
了解振型对设备故障诊断具有实际意义：
(1)由振型可见，即使所考虑的测点彼此相距很近，但各点之间所测得的实际振动可能有很大的差别；
(2)轴承部位不一定就是振动最大的部位。
因此，在进行设备诊断时，首先应正确选择好测点，避免设置在节点上；其次，应考虑到在测点测得的振值不一定就是振动最强烈的数值，在其他部位可能会有更大的振值。
五、扭转振动
分析旋转机械振动故障时，一般都是指平行振动，即振动质量仅沿着直线方向往返运动，包括转轴轴线垂直方向的径向振动和沿轴线方向的轴向振动两种形式。除此之外，有时还会遇到绕着轴线进行的扭转振动。扭振的力学模型如图1-11所示。
据此可得到扭转系统的运动方程（1-20）
图1-11 多盘转子常见振型
(a)自由振动；(b)强迫振动
式中，I为质量绕旋转轴的惯性矩；φ为运动转角；c′为阻尼常数；k′为转动刚度；M为外加扭矩。
由式(1-20)可见，描述扭转运动的方程与描述平行振动运动的方程具有完全类似的形式，区别在于振动质量M改成了惯性矩I，位移x改成了转角φ，这就表明，上述讨论平动振动时得到的各种规律完全适用于扭转振动。不过，从监测方法和故障机理上看，两者则有很大的不同。
产生扭转振动的根本原因是旋转机械的主动力矩与负荷反力矩之间失去平衡，致使合成扭矩的方向来回变化。扭振故障多见于电力系统的汽轮发电机组，石化行业广为使用的烟机也时有发生。
扭振具有极大的破坏性，轻者使作用在轴上的扭应力发生变化，增加轴的疲劳损伤，降低使用寿命，严重扭振会导致机组轴系损坏或断裂，影响机组安全可靠运行。扭振故障有多种形式，一般按频率特征将轴系扭振分成次同步共振、超同步共振和振荡扭振扭动三种基本形式。
六、非线性振动特征及识别方法
实际工程中有许多振动问题是非线性振动，例如油膜振荡、摩擦、旋转失速、流体动力激振等。线性振动系统与非线性振动系统的区分，往往取决于系统在激振力作用下的振幅大小。由于用线性振动理论能比较简便地研究和解决旋转机械系统的主要故障，所以在精度允许的情况下，可以把非线性振动问题线性化，作为线性振动来处理。但是在实际工程中，有些异常振动现象无法用线性振动理论来解释，而用非线性振动理论阐明故障机理，却很方便。非线性振动的主要特征如下。
(1)固有频率随振动幅值而变化
线性振动系统的固有频率只与系统的固有特性（k、m）有关，是一固定数值。而非线性振动系统则不同，其固有频率随振动系统的振幅大小而变化，如图1-12所示。
图1-12 自由振动的振幅与频率的关系
(2)振幅跳跃现象
具有非线性弹性的机械系统，在周期激振力作用下，振动可用强迫振动的基本成分ω与其高次谐波分量之和来表示。
共振曲线，如图1-13所示。
图1-13 共振曲线与跳跃现象
图（a)为软弹簧的情况，图(b)为硬弹簧的情况。在图(a)中，如将激励频率慢慢增大，振幅将沿曲线AB变化；在BC之间具有三个平衡点，而CF之间的平衡点是不稳定的平衡点。因此，从B移向C，一过C点就突然跳跃到D，然后进到E点，振幅发生突变。如将激励频率慢慢减少，从E下降的情况，经过的路程是从EDF跳跃到BA。在图（b)中，振幅也同样发生突变，这种现象称为振幅跳跃现象。
相位也有相同的跳跃现象。
(3)分数谐波共振和高频谐波共振
在非线性系统中，若以频率接近于固有频率整数倍的激励作用于系统发生共振时，以激励频率为基准，则共振的频率为激励频率的整数分之一，称为分数谐波共振。若激励频率接近于固有频率的整分数倍时，也会引起共振，这种共振称为高频谐波共振。
(4)组合共振（和差谐波共振）
在非线性系统中，若有两种不同频率ωl和ω2的激振力作用于系统，当它们的和（ωl＋ω2）、差（ω1-ω2）或（mω1士nω2）与固有频率一致时，往往也会引起共振，这种共振称为组合共振