离散傅里叶变换终极推导

为了引入离散傅里叶变换，首先需要依次推导：

1，周期函数的傅里叶级数形式：

2，非周期函数的傅里叶变换：

3，非周期函数的时域和频域抽样：

3.1时域抽样

函数p(t)和其频域函数P(w)：

根据频域卷积定理可以知道：

3.2频域抽样：

函数P(w)和其时域函数p(t)：

 

根据时域卷积定理可以知道：

4，时间序列的傅里叶变换

时间序列就是时域抽样之后的序列，过程如下：

（因为时域抽样后频谱会放大倍，另外积分变为求和）

于是：

而时域信号表示如下：

我们知道时域抽样之后，频谱周期化了，因此积分区间变为一个周期即可。

但是上式表达仍然有点不准确，因为就频谱的幅度值来讲，抽样之后有如下关系：

因此做如下修正：

化简之后，为了和周期函数的傅里叶级数对比，将后缀0改s，将正反变换对同时写在下面。

频域周期

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周期函数的傅里叶级数正反变换对如下：

时域周期

5，离散傅里叶变换终极演绎

在非周期序列的基础上在频域抽样可以得到周期离散序列

因为频域函数的周期为,所以抽样之后单周期里面的采样点为，于是

利用N化简上式

记，同时实际在计算机里面运算的时候，已经不关心和是多少了。因此上式可以记为：

(逆变换）

（正变换）

总结：有限长序列可以看成周期序列的主值序列，因此有限长序列的傅里叶变换对如上式。

6，离散傅里叶变换另一种推演

从周期信号f(t)的傅里叶级数系数开始

如果对f(t)进行抽样记为x(t)，那么可以知道

将上式代入周期函数的系数里面可以得到

因为就频谱的幅度值来讲，抽样之后有如下关系：

所以可以得到

取一个周期0~N-1，化简可以得到变换对如下：

记，同时实际在计算机里面运算的时候，已经不关心和是多少了。因此上式可以记为：

(逆变换）

（正变换）

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结果发现两者变换系数1/N的位置，一个在时域，一个在频域。真正的原因是他们分别描述的是频谱密度函数和频谱函数，经常迷惑人。因为两个正变换或逆变换完全可以互相推导，所以使用哪一个公式都不会有影响。