leetcode 4的幂

原题链接;
https://leetcode-cn.com/problems/power-of-four/

题目描述:

给定一个整数 (32 位有符号整数)，请编写一个函数来判断它是否是 4 的幂次方。

题意很明确, 就是给一个32 位有符号整数, 判断它是不是4的整数次方($n=4^k$).
为了避免歧义, 这里认为$k\ge 0$

总结了下, 大致有如下几种思路:

思路1: 枚举

既然是32位整数, 就从1($4^0$)开始, 直到$2^{31}-1$,
这种方法说起来, 对可能的结果不多的情况下还是比较有效的, 不过当然一般不会这么干.
代码如下:

bool isPowerOfFour(int num) {
    switch(num){   
        case 1 << 0:
        case 1 << 2:
        case 1 << 4:
        case 1 << 6:
        case 1 << 8:
        case 1 << 10:
        case 1 << 12:
        case 1 << 14:
        case 1 << 16:
        case 1 << 18:
        case 1 << 20:
        case 1 << 22:
        case 1 << 24:
        case 1 << 26:
        case 1 << 28:
        case 1 << 30:
        // case 1 << 32: // 这个num为0时不能通过
            return true;
        default:
            return false;     
    }
}

思路2: 枚举(迭代实现)

bool isPowerOfFour(int num) {
    if (num < 1) {
         return false;
    }
    
    if (num & (num - 1) != 0) { // not 2^n
        return false;
    }
    
    int i = 0;
    int t = 0;
    for (; i < 32; i += 2) {
        t = 1 << i;
        if (t == num) {
            return true;
        }
        if (t > num) {
            return false;
        }
    }
    return false;
}

思路3: 使用"魔数" 0x55555555

0x55555555这个数是啥呢? 看它的二进制(4位一隔, 方便观察):
‭0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101‬
发现从右到左(从低位到高位), 其中的奇数位(1, 3, 5…)都为1, 偶数位都为0.
而4的整数幂:

$k$	$4^k$	$4^k$的二进制形式
0	1	0000 0001
1	4	0000 0100
2	16	0001 0000
3	64	0100 0000

就写这几个吧, 能说明问题就可以, 发现:
$4^k$的二进制展开中, $2k+1$位为1, 其余位为0.

其实也很容易想: $4^0=1$的二进制中1在第一位, $4^1=4^0\times 4$, 也就是在$4^0$的基础上左移两位, 自然就有上边的结论.

有了上面的基础知识, 问题就简单了, 直接看代码吧:

bool isPowerOfFour(int num) {
     return ((num & (num-1)) == 0) && num > 0 && ((num  & 0x55555555) == num) ? true : false;
}

其中(num & (num-1)) == 0)是判断num为2的整数幂, 可参看我的另一篇文章 .

思路4: 利用同余性质

先说下结论:

$$a\equiv b\Rightarrow a^n\equiv b^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),(a,b,n均为整数,且n\ge 0)$$

那么, 令 $a=2,b=-1,m=3$, 则: $2\equiv -1\Rightarrow 2^n\equiv (-1{)}^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$,
当$n=2k(k\ge 0)$, 即n为偶数时, 有:
$2^{2k}\equiv (-1{)}^{2k}\Rightarrow 4^k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),(k\ge 0)$

也就是说:
4的幂等于3的整数倍再加1

那么:

bool isPowerOfFour(int num) {
     return num > 0 && (num & (num - 1)) == 0 && (num - 1) % 3 == 0 ? true : false;
}

csdn博客这latex公式怎么左对齐? 求告知.

结论$a\equiv b\Rightarrow a^n\equiv b^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),(a,b,n均为整数,且n\ge 0)$的证明如下(数学归纳法):

1. 当$n=0,1$时, 命题显然成立；
2. 假设当$n=k(k\ge 2)$时,$a^k\equiv b^k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$成立,即$a^k-b^k=qm(q为整数)$;
3. 那么当$n=k+1$时
   $\because a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
   $\therefore a-b=lm(l为整数)$
   $$\begin{array}{rl}\therefore a^{k+1}-b^{k+1}& =a^{k+1}-a{b}^k+a{b}^k-b^{k+1}\\ & =a(a^k-b^k)+(a-b)b^k\\ & =aqm+lm{b}^k\\ & =m(aq+l{b}^k)\\ & =mK(K为整数)\end{array}$$
   也就是说: $a^{k+1}\equiv b^{k+1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$成立
   故由数学归纳法知, 原命题成立.
   证毕.

参考

https://blog.csdn.net/u010564321/article/details/51210749
https://www.zybang.com/question/4627e5673ce201796fa7e9da810e3d30.html

欢迎补充指正!