0-1背包问题理解

背包问题

我们可以把背包问题分成3种不同的子问题：0-1背包问题、完全背包和多重背包问题，剩下一些都是这3种的变形以及组合。

0-1背包

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包，第 i 件物品消耗的容量为 Ci，价值为 Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

完全背包

有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用，第 i 件物品消耗的容量为 Ci，价值为 Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

多重背包

有N种物品和一个容量为V的背包，第 i 种物品最多有 Mi 件可用，每件物品消耗的容量为 Ci，价值为 Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

01背包问题

例：

解决方法1：暴力破解–列举出所有情况
每个状态分别表示取或者不取，1表示取，0表示不取

问题：时间复杂度高

动态规划实现：

表的理解：
i — 前i个物品
j — 此时背包容量

例：dp[1][1] 前1个物品 在背包容量是1的时候的最大价值
这时候要取最大价值就有两种情况
1，是背包装第1个物品 ，， 第一个物品需要背包容量是2，这时候背包容量只有1，装不进去，所以最大价值是0
2，不装第1个物品，前0个物品的最大价值就是0

转移方程：
dp[i][j]表示前i个物体在容量为j的情况下，能取到的最大价值
1，不取第i个物体：价值为dp[i-1][j]
2, 取第i个物体：价值为dp[i-1][j-A[i]]+V[i]

状态转移方程为：dp[i] [j] = max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-A[i]]+V[i]}