一个直观的图像傅里叶实例（An Intuitive Explanation of Fourier Theory）
Steven Lehar
翻译：Bob
傅里叶理论在数学上是相当复杂的。但是在傅里叶理论的背后有一些简单的例子是很容易解释的。傅里叶变换的数学基础在其他网站可以找到。我将针对空间图像做基本的介绍。
基本原则：空间是怎样由频率表示的
高次谐波：振铃效应
模拟分析：光学傅里叶变换
傅里叶滤波器：傅里叶变换在图像处理中的应用
基本原则：
傅里叶理论表明在可视化图像中的任何信号都可以由一系列正弦函数的和表示。下面的图像就是亮度的正弦变化。例如下图的正弦匹配可以用一个单傅里叶编码捕获1.指定的频率，2.振幅（正的或负的），3.相位。
这三个值可以涵盖正弦图像的所有信息。空间频率就是可以亮度调节的x轴。下面是一幅更高空间频率的正弦图像。
正弦图像的幅值表示对比度，或者是图像最暗点与最亮点的差值。一个负幅值表示逆对比度，亮的变成暗的，反之亦然。相位表示波形相对原始的移位，在这里它表示正弦的左右移位。
傅里叶变换编码不仅仅是一个正弦，而是一系列空间频率从0到乃奎斯特频率的正弦函数，数字图像的最高空间频率与分辨率或者像素的大小相关。傅里叶变换编码一幅图像所有的空间频率。下面的信号仅仅包含一个空间频率f，它的高度代表幅值，或者正弦信号的对比度。
直流项对应的频率为0，代表了整幅图像的平均亮度值。DC项为0表示平均亮度值为0，意味着正弦会交替出现正负值。但是因为没有负的亮度值，所有的图像都有一个正DC值。
实际上，因为数学问题已经超出了辅导的范围，傅里叶变换也画成以原点对称的镜像图像，从原点开始空间频率在两个方向上增加。
上面显示的为一个单扫描正弦线图像的傅里叶变换，是一个一维信号。一个二维傅里叶变换在图像的行上执行一维变换，图像的列执行另一个一维变换，对原始图像产生一个相同的二维变换。
下面的图像为一个正弦灰度图像，它的二维傅里叶变换也是一个灰度图像。傅里叶图像中的每个像素点为一个空间频率值，幅值就是像素点的亮度值。中心点的灰度值为DC值，中心点两侧的两个点为谐波。傅里叶图像的峰值越亮，灰度图像的对比度越高。因为图像中只有一个傅里叶项，傅里叶图像中其余值都为0。
下面为另一个正弦灰度图像，图像的空间频率更低，它的二维傅里叶变换为三个峰值点，两侧的点与DC点更近，表明一个更低的空间频率。
最重要的一点就是傅里叶图像可以精确的编码成与原始灰度图像相同的图像。
正弦图像的方向与傅里叶图像中峰值点的方向相关。下图为正弦图像与傅里叶变换后的图像。
不同的傅里叶系数组合会产生不同的图案。下面的图像为上面倾斜与垂直低频图像的组合。
灰度图像与傅里叶图像可以完全互换，因为它们包含完全相同的信息。灰度图像的结合可以是像素的叠加，或者是傅里叶变换的像素叠加，逆变换到灰度域，结果也是相同的。
高次谐波和振铃效应
傅里叶变换最基本的平滑正弦函数，它是圆型的最好表现形式。但是傅里叶变换实际上可以表示任何形状，甚至是方波形状，它的困难之处就在于傅里叶代码中需要高次项或者高次谐波。由平滑的正弦函数表示的方波函数将会在下面的例子中演示。
下面为四幅频率为1,3,5,7的正弦灰度图像。第一幅频率为1，其它的为基础频率的高次谐波，因为它们都是基础频率的整数倍。这些实际上是基频的奇次谐波，下面为灰度图像及其傅里叶变换图像：
1 3 5 7
下面的图像结果增加了高次谐波到基频中，注意下面的中心垂直频带是如何变得更细更亮的，但是黑色没有变。
下面的图像显示的是超出乃奎斯特频率的结果，它产生一个细的垂直亮条，即一个方波。图像的傅里叶变换扩展为一个无限的高次谐波，虽然针对原始图像无限次幂是不存在的。这就是方波如何转变为一系列正弦函数的和。
光学的傅里叶变换
一个直观的例子能够理解傅里叶变换的原理，我们以前学习的透镜可以执行一个傅里叶变换在时域中。在透镜的焦距上放一幅透明垂直条纹的图像，用激光照射。在透镜的另一个焦距上放一块毛玻璃。透镜将会自动产生傅里叶变换的效果。假如输入的图像为正弦图像，结果就是中心点为直流分量，两侧的点与中心点的距离的变化表示正弦频率的变化。
我们现在可以看到傅里叶变换后面的原理。输入图像的每个点对于透镜扩大为一个锥形的射线，但是图像在透镜的焦点上，这些线会变成平行线照射在毛玻璃上。也就是说每个点均匀的覆盖在傅里叶图像上，图像上自动产生傅里叶变换。
相反，从输入图像进入的平行射线会聚焦到傅里叶图像的中心点，它定义了输入图像平均亮度的DC项。
光学傅里叶的逆变换会在相反的方向上自动形成，逆变换计算会很精确。
傅里叶滤波
傅里叶变换可以被用来针对一幅图像的特定频率进行滤波。下面输入一幅灰度图像，进行傅里叶变换，再进行逆变换与原始图像对比。这个重建的图像是完全相同的。
我们先演示一个低通滤波器，
低通滤波的图像是模糊的，保留了低频的暗的与亮的平滑区域，丢失了边缘信息。低通滤波等价于一个模糊函数。
高通滤波，保留了边缘信息，却丢失了大量的平滑区域信息。
低通滤波图像与高通滤波图像的叠加就是原始图像。
下面显示一个带通滤波
下面为一个更窄的带通滤波：
