Helmholtz方程与Maxwell方程在光通信中的相关应用

 

Helmholtz方程与Maxwell方程在光通信中的相关应用

【摘要】Helmholtz方程和Maxwell 方程组出现在地球物理、医学、遥感技术等众多领域，经常被用来刻画声波或电磁波的辐射和散射，以及建筑物的振动等现象，是典型的偏微分方程。与偏微分方程边值问题相比，我们不需要去除 拉普莱斯算子的特征值就可以保证Cauchy 问题解的唯一性。然而Cauchy 问题是不稳定的， 如果测量的Cauchy数据带有微小的扰动，很可能会引起反演结果的巨大偏差。因而对Cauchy问题的研究，特别是提出有效的、稳定的、可实现的、快速的数值计算方法是当今的重要课题之一。本论文主要研究了Helmholtz 方程Maxwell方程组Cauchy 问题的不适定性，并针对相应的数学模型提出了有效的、稳定的数值计算方法，接下来又结合Bessel方程及其性质、Bessel函数的递推关系和渐进式讨论并求解光纤模式。

【关键词】Helmholtz 方程、Maxwell 方程组、Cauchy问题、Bessel方程、Bessel函数、光纤模式

一、时谐声波与电磁波传播模型

    Helmholtz 方程和Maxwell 方程组是声学与电磁学理论所涉及的典型偏微分方程， 也是本论文所研究的主要微分方程模型。因此，在此我搜集了一些关于Helmholtz方程和Maxwell 方程组的物理背景、基本概念和基本理论。

设表示 中的一个点，其范数为：

                       （1-1）

记我们用表示以原点为圆心，半径为R 的球。记D是(d = 2,3)中有界连通区域，它的边界和闭包记为和，表示D的补集，集合，记为处的单位外法向量，并假设是的。我们称区域 D 的边界是的，如果对所有都存在以x为内点的区域以及双射使得：

             (1-2)

1.1Helmholtz 方程

Helmholtz 方程有着广泛的物理背景和众多的应用领域。它最初起源于物理中声波的传播，建筑物的振动以及电磁场等。考虑小振幅的声波在Rd中无粘性的、各向同性的均匀介质中传播。 记常数c为声速，声波的运动可以用速度位势所满足的波动方程：

                           (1-3)

来描述。其中∆ 表示Laplace 算子， 表示时间变量。从波动方程中，我们可以直接推出具有角频率w的时谐( time-harmonic) 声波：

                   （1-4）

的复值的空间依赖部分u 满足简化的波动方程：

                       （1-5）

其中称为波数， 它的物理意义为2π距离内完整波形的个数。Re(f) 表

示复值函数f 的实部。表示虚数单位。为了纪念德国物理学家 Hermann

LudwigFerdinamd von Helmholtz 在声波和电磁波理论方面所做出的杰出贡献，我们称方程(1-5) 为Helmholtz 方程。Helmholtz 方程的基本解为：

                 (1-6)

其中函数是0阶第一类Hankel函数。Helmholtz方程的基本解与特殊函数紧密相关。通常,Helmholtz 方程边值问题主要考虑以下三类边界条件:设f, g, h 是定义在上的函数。

•Dirichlet 边界条件：

                   (1-7)

•Neumann 边界条件：

                    (1-8)

•Impedance 边界条件：

                    (1-9)

 

其中表示阻抗函数，它是上的值函数。实特别地取阻抗边界条

件和Neumann 边界条件等价。求解Helmholtz 方程边值问题的数值计算方法多种多样.例如经典的有限元方法、边界积分方法、边界元方法。

1.2Maxwell方程组

设介质材料中没有电荷和电流存在，而且是线性和各向同性的，则Maxwell方程组为：

                     (1-10)                    

                      (1-11)

                        (1-12)

                        (1-13)

对于各向同性的线性媒质，下列的物质方程成立：

                         (1-14)

                         (1-15)

对于式（1-10）的两边取旋度，并利用式（1-11）、（1-14）、（1-15）得到：

               （1-16）

由（1-13）、（1-14）可得：

                   (1-17)

将（1-17）代入（1-16）得到：

               （1-18）

对于均匀光波导，，设电场随时间呈简谐振荡，则（1-18）式化为：

                    (1-19)

其中，。

式（1-19）就是均匀波导中的波动方程。对于非均匀波导，波动方程应采用式（1-18）的形式。但若波导中随位置的变化很微小，在一个波导的距离上的变化远小于场分量的变化，则可近似认为，这时仍可用式（1-19）所给的波动方程来求解。对电磁场H，也可推导出和式（1-19）相同的波动方程 。

在直角坐标系下，E和H的x，y，z分量均满足下列标量波动方程：

                  （1-20）

其中，代表E和H的歌分量。但在圆柱坐标系中只有Ez和Hz分量才满足式（1-20），横向电磁场分量并不满足。

1.3Cauchy 问题的研究现状

Helmholtz 方程和Maxwell 方程组的Cauchy 问题出现在地球物理、生命科学、遥感技术、无损探伤、材料科学等众多的工程、医学和军事领域.，这类问题是不适定的。有关偏微分方程的Cauchy 问题较早出现在Hadamard 著名文献中。这类问题的难点在于解不连续依赖于Cauchy 条件,即定解条件的微小扰动会导致解的巨大误差 。因而设计快速的、稳定的数值算法来计算Cauchy 问题引起了众多学者的关注。

1.3.1Cauchy 问题的不适定性

    微分方程适定性的概念是Hadamard 在1923 年提出的。 称一个问题是

适定的，若其同时满足下述三个条件：

(1)问题的解是存在的；

(2)问题的解是唯一的；

(3)问题的解是稳定的,即解连续地依赖于定解条件。

如果某个问题不是适定的问题，我们就称其为不适定问题。

   对于第一个适定性的条件，可以通过选择适当的函数空间使得Cauchy 问题解存在，再者所涉及的问题来源于工业等实际生产和生活，所以可以保证Cauchy 问题有解。因此，在本文中假设Cauchy 问题的解是存在的。

    对于Helmholtz方程边值问题，如果不是的特征值，边值问题存在唯一解。但是对于 Cauchy 问题，仅需选择适当的函数空间即可保证解的唯一性。Helmholtz方程和Maxwell 方程组Cauchy 问题解的唯一性是偏微分方程中经典的Holmgren 唯一性定理的一个特殊情形 。

1.3.2  Cauchy 问题的数值算法

本节主要关心Helmholtz 方程和Maxwell 方程组Cauchy 问题的数值计算方法。如果采用经典的有限差分方法、有限元方法 和有限体积法等数值方法求解Cauchy 问题，需要将微分方程离散，计算区域作剖分。然而对于复杂的求解区域和高维模型，这些经典的算法将面临着网格生成难，计算复杂度高等众多问题。而且由于问题本身的不适定性和数学模型的复杂性，为数值计算带来了许多挑战.。为了表述简洁，在后文中这三种经典的方法分别简记为 FDM、FEM 和FVM。目前，常用的Cauchy 问题计算方法有如下几类：

1.边界元方法(boundary element method)

根据Helmholtz 表示定理和跳跃关系，Helmholtz 方程的解可以表示成如下的积分形式：

     （1-21）

 

其中边界元方法的思想是通过离散边界积分方程 (1-21) 求解Cauchy 问题，简记为BEM. 归结起来，分为直接法和迭代法两类。设被剖分成 N = N1+ N2个单元，每一个单元都是分片常数，其中上有N1个单元，利用Cauchy 条件边界积分方程离散为关于个未知数 2N 个方程的线性代数方程组。直接求解线性代数方程组来得到上的值称为直接法。由于问题是不适定的,所以需要采用正则化方法对方程组求解，经常应用的正则化方法有奇异值分解方法和Tikhonov正则化方法。

2.无网格方法(meshless method)

与对区域离散的FDM、FEM和FVM，以及边界离散的BEM 相比较，无网格方法在处理高维问题和复杂区域计算时，具有计算效率高的优势。无网格方法主要有三种：基本解方法(method of fundamental solution)、边界节点法(boundary knot method) 和平面波方法 (plane wave method). 在无网格方法中，寻找下述形式的解：

                 (1-22)

其中为给定的函数，是待求系数。无网格方法的主要思想是利用配置法或Galerkin方法，通过已知的Cauchy 条件求解系数。

若取

          (1-23)

称为基本解方法，简记为MFS。是放置在虚拟边界上波源的位置。由于基本解在点x = yj处具有奇性，因而虚拟边界应远离求解区域。在边界节点法取

           (1-24)

是 0 阶Bessel 函数.详细介绍见附录A. 由Bessel 函数的级数表达式可以推出没有奇性，所以 BKM 不需要设置虚拟边界，波源的位置摆放自由，而且数值实验结果展示 BKM 方法是指数收敛的。 但是BKM 的理论分析仍不完善，有待人们进一步研究。如果将波源放置到无穷远处,MFS 的基本解和BKM 选取的函数都近似于平面波，因此在平面波方法(PWM) 中取函数

         （1-25）

其中表示观测方向。平面波方法通常被看成利用山脊函数配置法求解微分方程齐次问题的技术。

 3.矩方法(moment method)

求解Helmholtz方程Cauchy问题的另一类重要数值方法为矩方法，简记为MM。记：

       (1-26)

对v 和Cauchy 问题的解u 应用Green 第二公式得

                (1-27)

利用上式,Cauchy 问题转化为一个矩问题:求解使得

                 (1-28)

Cheng等第一次提出矩方法，并把这个方法应用到了Laplace 方程Cauchy

问题的计算中。

 

二、Helmholtz方程与Maxwell方程在光纤中模式理论的应用

 光在光纤中的传输详细情况只能通过解Maxwell方程 来得到。光纤作为圆形介质波导，它的求解过程是复杂的，下面先介绍弱导行（和相差很小，通信中用的光纤通常是这种情况）的阶跃折射率光纤的求解方法。

1.1圆柱坐标系中的波导方程式

    对于圆柱形光纤，采用圆柱坐标系更合适，因此，需要把已经得到的直角坐标系中的基本波导方程式及波动方程变换到圆柱坐标系中。

1.圆柱坐标系中的基本波导方程式

圆柱坐标系和直角坐标系的关系如下：

                      （1-29）

在圆柱坐标系中横向电场分量和可用Ex和Ey表示为：

                 (1-30)

                (1-31)

将Ex和Ey的表达式代入上面的两个式子，并利用偏微分的一些关系，得                 （1-32）

                 （1-33）

以及

                   （1-34）

                 （1-35）

                   （1-36）

                  （1-37）

由此可以得到在圆柱坐标系中用Ez和Hz分量表示的和的表达式。用同样的方法，也可以求出和的表达式。圆柱坐标系中这组波导方程式为：

                （1-38）

                （1-39）

                 (1-40)

                  (1-41)

2.圆柱坐标系中的波动方程

在圆柱坐标系中，表示为

              （1-42）

对于理想的阶跃折射率光纤，满足下列条件：

a.光纤的材料是线性的、各向同性的，光纤中不存在电荷或电流；

b.光纤是半无限长的，光波沿着z方向（光纤轴线）传输；

c.光纤的结构是均匀的，纤芯半径是a，折射率为；包层无限大，折射率为；

d.光纤是无损耗的。

因此，光纤中的电磁场可以表示为：

                  （1-43）

                   （1-44）

对于Ez和Hz分量，应满足下面的标量波动方程：

           （1-45）

用分离变量法求解此方程，令

                    （1-46）

由于光纤是圆柱形波导，电磁场沿方向是以2为周期的周期函数，所以可以表示为：

v为整数，v=0,1,2,3......          (1-47)

则（1-45）可以写为：

          （1-48）

这个方程可以化为贝塞尔方程，在特定的边界条件下求解R(r)，便可得到阶跃折射率光纤的模式情况。

对于求解（1-48）的过程，实际上就是根据边界条件选择合适的贝塞尔方程的过程。对于解得的线性齐次方程组，如果A、B有非零解，则它们的系数行列式应为零，从这出发并经过复杂的数学运算，得到本证方程为：

（1-49）

对于弱导光纤，，上式化简为：

         （1-50）

三、根据Bessel方程及性质求解光线中的各种导模